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教學的空間(七) 數學篇:從不確定中尋找確定

2020/8/9 — 19:51

資料圖片,來源:William Warby @ Unsplash

資料圖片,來源:William Warby @ Unsplash

【文:霍梓楠 @ 教育工作關注組】

我校中二數學的第一個課題是近似與誤差。「誤差」課題中有一堆公式,如果教師不強調如何理解那堆公式的話,學生很可能會傾向沿用小學及中一的「成功」方法:將題目見到的數字塞入背好的公式中,計到正確答案就完成任務。

這種做法對大部份題目都奏效,於是他們就不看書中解釋公式的部份,只對公式表有興趣。

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所以,我會花不少課堂時間與他們探究公式的意思,以至跳出公式之外、關於誤差的中心思想:從不確定中尋找確定 — 這是統計學的其中一個核心目標,我認為值得以此為重心講授這個課題。

「呢課要探討嘅係實際值 actual value、量度值 measured value、絕對誤差 absolute error 同埋最大絕對誤差 maximum absolute error。

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所謂 absolute,雖然中文譯做『絕對』,不過同我哋平時中文用開嘅『絕對』意思唔同㗎……(在此略過解釋數學上 absolute 意思部份,我通常會順道介紹『絕對值』符號)。

相信你哋都明白咗呢條公式嘅意思 — 只不過係常識嘛!

| 實際值 - 量度值 | = 絕對誤差

不過,你哋係咪總會知道「實際值」呢?假如你哋用我手中嘅間尺(刻度間距 scale interval 為 0.1 cm)度一枝筆嘅長度,度到 7.3 cm,咁係咪代為枝筆長度就一定係 7.3 cm?」

即場列舉例子回應學生

「咁要睇下個筆支係咪真係喺正 7.3 cm 個刻度啦!」

「如果真係喺正 7.3 cm 個刻度呢?」

「萬一佢嘅『真正』長度係 7.300008671 cm,用隻眼嚟睇都應該係『喺正』喎!仲有,你對把間尺咁有信心?就算把間尺真係絕對準確……吖!呢度講嘅絕對係中文平常用開絕對嘅意思!就算把間尺真係絕對準確,但係印上去個刻度本身都有闊度呀,你真係睇得清楚咩?」

有同學插嘴:「仲有冷縮熱脹!」

「嗯!其實講咗咁耐,係想講番書入面寫嘅:除咗數數量(counting)可以有實際值之外,磅重、度高呢類量度,你永遠唔可以確定你度出嚟嘅值係咪實際值。呢度要小心一個邏輯位:你永遠唔可以確定你度出嚟嘅值係咪實際值,唔代表你度出嚟嘅值一定唔係實際值。明唔明?

好想好想你哋明白呢幾條式點嚟

咁大家應該見到個問題所在:如果永遠冇辦法知道實際值係乜,咁就永遠唔會知道絕對誤差係乜,咁條式咪好多情况都冇用囉!所以如果你預習咗,你會見到另外幾條公式:

最大絕對誤差 = 刻度間距 ÷ 2
實際值上限 = 量度值 + 最大絕對誤差
實際值下限 = 量度值 - 最大絕對誤差

其實我可以好快教完㗎!同你做幾條例題,代番啲數入去啲公式,咁就搞掂!不過,我好想好想你哋明白呢幾條式係點嚟。

而家你哋想像有枝神造出嚟嘅筆,佢實際長度係 7.312 cm。點解佢會知?因為佢係神囉!呵呵!假如你哋用我頭先講嘅間尺(刻度間距為 0.1 cm)去度佢,咁你會度到幾長呢?好簡單係咪?咁你哋完成咗張工作紙佢,試埋其他情况啦!」

(神造出的筆)實際長度值量度值絕對誤差
7.312 cm7.3 cm0.012 cm
7.349 cm7.3 cm0.049 cm
7.35 cm7.4 cm0.05 cm
7.351 cm7.4 cm0.049 cm
7.249 cmDIY! 
7.25 cm  
7.251 cm  

「大家可唔可以從中見到,用刻度間距為 0.1 cm 嘅間尺去度,咁絕對誤差最盡係幾多呀?(停一停、諗一諗)冇錯,就係 0.05 cm!咁你而家應該明白點解係刻度間距除二啦!你哋試下答,當中關鍵係乜?」

「關鍵係個量度工具嘅刻度間距,同埋四捨五入!」

「冇錯!其實你知道咗個關鍵諗法,啲公式自然喺你腦海,唔駛特登背啦!如果第二個星球嘅外星人用奇怪嘅三捨六入,咁呢條式就唔啱用啦!」*

「考試會唔會咁考?」

「如果你明咗個概念,考試點考都考唔到你啦,係咪?我想換個角度問你哋差唔多同一樣嘅問題:如果你度到 7.3 cm,咁你可以推敲到神造出的筆實際長度係幾長至幾長嗎?我想你講埋思考過程出嚟,唔該!」

「睇番你份工作紙……最短可能嘅實際長度應該係 7.25 cm,因為根據四捨五入,7.249 cm 就會度到 7.2 cm 啦!」

「答得好好!咁最長實際長度呢?」

「嗯…… 7.35 cm 唔得喎,因為會度到 7.4 cm……咁 7.349 cm 呢?」

「你肯定 7.349 cm 真係最長?」

會 hang 機即係諗緊嘢

「咦!係喎!7.34999999 cm 理論上都得!哇!咁要幾多個 9?無限個 9?」

「無限個 9 其實係等於 7.35 cm 㗎!不過當中有啲複雜,你可以等下學期先學,或者自己 Google 下先!」

「下?可唔可以無限減一個 9?」

「Sorry 唔可以咁㗎!我知你哋會 hang 機,不過唔緊要!會 hang 機即係諗緊嘢啦!答案係……冇『最長實際長度』嘅答案!你只可以話 7.35 cm 係上限 upper limit。你睇番呢條我頭先專登唔寫出嚟嘅公式:

實際值範圍(range):實際值上限 > 實際值 ≥ 實際值下限

咁你明點解一邊係大於、一邊要係大過或等於啦!」

「噢!原來係咁!」

從不確定中尋找確定

「我最鍾意見到你哋呢種恍然大悟、醍醐灌頂所發出嘅亮晶晶眼神!我希望你哋記住頭先嘅推理過程,做例題時都要諗下個答案代表啲乜,而唔係一見到刻度間距就即刻除 2 但係唔知點解!

仲有,我希望你哋欣賞到一點,就係雖然把間尺唔可以畀個好確定嘅量度值,不過,我哋係有能力係由唔確定之中,起碼確定到一啲嘢。喺呢度嘅例子,就係確定咗實際值嘅範圍。大家仲有冇問題?」

一片安靜。

「真係冇?咁我講多一樣:其實實際量度嗰時,如果你手殘或者眼殘,擺錯位或者睇刻度角度唔啱,咁你計出嘅『理論』實際值範圍就唔反映實情。所以就如頭先同學答我嘅關鍵,呢課處理嘅誤差課題只係局限於工具刻度,實際做實驗嘅誤差其實會涉及好多其他因素呀!」

有同學問:「用番工作紙個例子。如果我判斷筆尖喺正兩個刻度中間,咁量度值 measured value 可唔可以係準確至……例如 7.35 cm 而唔寫 7.4 cm?」

「呢個係好好嘅問題,又係涉及理論同埋實際操作嘅分別。不過今日時間唔夠,不如留番聽日講。同學仔今晚諗下,聽日邀請你哋發表意見!」


縮減教學空間窒礙教師發揮專業價值

如果目標只是教「懂」學生處理基本題目,教師花那麼多時間引入及講解,可能是「成本效益低下」,甚至自製「教唔切」危機。而且,這些概念其實不一定要多花時間深入講解,學生有機會從操練中自行領悟到。

我的信念是,如果我判斷這班同學有能力理解這些較複雜的邏輯及概念的話,我有責任將它們視為重點去講解。如果他們因此而培養到這種思考習慣,操練時會更有方向(明白自己為了甚麼而操練),他們往後的數學學習路會有趣、有意義得多,也應該學得更快、更順利。事實上,根據課程指引,是教師應當要求學生理解公式的意思,只是現在的測考模式不容易直接測試學生對公式的理解。

當然,學生有可能過一陣子就忘記得一乾二淨。臨考試之前,他們也很可能懶得諗一大輪,選擇直接背公式就叫溫完書。不過,我覺得學生只要在課堂中體驗過思考過程,曾經有過「恍然大悟」的一刻,已是一種成功 — 就當埋下了種子然後等待未來發芽吧!這也算是「從不確定中尋找確定」的另一種演繹 — 我不確定學生是否牢記到我所教的,但從他們的眼神與反應,又隱隱然確定他們喜歡這樣學習!

教師須有空間做更多表面上似乎成本效益低下的嘗試,鼓勵學生尋根究柢;學生也應該要有空間多嘗試、多思考、多消化所學。難道要求教師多教一些課題,或者兼顧更多工作,才可以「逼使」教師彰顯他們的專業價值嗎?

* P.S. 承蒙讀者指正 — 他認為不應寫之為「三捨六入」法,因為沒有處理到四和五,並建議改為三捨四入。

我當時想表達的,是頭三個(1, 2, 3)捨、後六個入(4, 5, 6, 7, 8, 9)入,講書的時候除了說「三捨六入」,也有進一步說明其意思,但在此文中因避免冗長而沒有寫明。所以,我與讀者的想法一樣,只是說法不同。看來「三捨四入」更符合對「四捨五入」本身的理解,我樂意作出修改。

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