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教學的空間(三)數學篇:不用分那麼細,大家都係英文字母?

2020/8/3 — 13:26

資料圖片,來源:Louis Bauer @ Pexels

資料圖片,來源:Louis Bauer @ Pexels

【文:霍梓楠 @ 教育工作關注組】

中二數學恒等式課題中,有類題目是這樣的:

x² + Ax + 2 ≡ Bx² – 3x + C

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A、B 與 C 都是常數,求它們的值。

[Answer: B = 1, A = -3, C = 2]

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「我相信而家大部份同學都做到,應該再冇人答我 A 等於正 3,畢竟都鬧過幾次啦!不過你哋係咪真係掌握正確概念呢?只要我加多少少嘢喺條題目度就知!

x² + Ax + 2 + Dx + E ≡ Bx² – 3x + C

A、B、C、D 與 E 都是常數,寫出有關它們的等式。」

「你之前教過啦!要先將同類項組合在一起:

x² + Ax + Dx + E + 2 ≡ Bx² – 3x + C
x² + (A + D)x + E + 2 ≡ Bx² – 3x + C

咁咪見到:

B = 1
A + D = -3
E + 2 = C

搞掂!」

珍惜會問點解的學生

「呢位同學做得好,係啱嘅!我好記得有同學曾經問過我:阿 Sir!你介紹多項式嗰時講過,常數項就係得數字,咁左手邊嗰個係 E 唔係數字喎,答案唔係應該 C 等於 2 咩?如果你係我,你會點答佢呢?」

「吓?如果唔侵個 E 玩,個 E 咪成為咗孤兒無人理囉!咁樣唔得㗎!仲有呀,如果佢真係咁諗,用番佢嘅邏輯,佢連頭先第一條

x² + Ax + 2 ≡ Bx² – 3x + C

嘅 C = 2 都接受唔到啦!」

「多謝你,答得好好,識得用自相矛盾方法駁佢!不過咁樣唔夠對症下藥,只破但未立!佢可能會反問:咁你即係話常數項都可以有未知嘅嘢係入面,同你教嘅嘢好矛盾!」

「嘩!呢個同學都好煩!」

「我唔覺喎!我好開心佢會問我點解,仲會攞番我教過嘅嘢反駁我!有啲咁嘅學生係好幸福㗎!」

「喂阿 Sir,你而家對住我哋好唔幸福咩?」

「唔好岔開話題!有冇人試下解釋?」

探究本質與解題技巧同樣重要

……安靜……

「係有啲複雜,不過我相信唔少同學係明嘅,只係唔知點講好!其實關鍵係佢冇意識呢度有兩種唔同嘅英文字母。多項式

Ax² + Bx + C + 2

中的變數 x 及常數 A、B、C 嘅本質唔同,雖然佢地都係用字母表達。咁個唔同位喺邊度?喺呢條恒等式入面,

x² + Ax + 2 ≡ Bx² – 3x + C

A、B 同 C 係固定咗嘅數字,等緊你去搵出嚟,而家未知係乜,咪用字母頂住檔先!其實如果嗰位同學諗深一層,仲會發現多一個矛盾位:當初介紹『係數』coefficient 都係數字啦,咁佢點解又接受到 B = 1,A = -3 呢?

請你哋記番恒等式嘅定義:無論 x 係乜嘢,左右兩邊計出的值都一定相等。所以呢個變數 x 嘅本質,係畀你代啲乜嘢數入去都得嘅。

以前你哋學得冇咁複雜,所以可能會將所有英文字母當成同一類嘢,咁咪出現混淆囉!要說服佢,最好辦法係指出兩種字母的『未知』狀態有本質上嘅唔同。」

「嘩!考試會唔會要我寫番個分別出嚟?」

將教科書題目改頭換面

「唔會!不過我可以咁樣玩下你哋,睇下係唔係真係明!又係呢條多項式:

x²A + xB + C + 2

不過今次 A、B、C 唔係常數而係變數,x 先係常數!我想問常數項係乜呢?」

「下?乜變數唔係一定要細楷咩?」

「咁只係通常寫法,不過我認咁寫的確唔係咁好……不過,遲啲你會做到有啲題目,個常數係會用細楷表示!只要題目定義清楚,令你理解到就得啦!」

「哇!阿 Sir 好有創意喎!你係咪想我哋答常數項係 C + 2,然後你又可以鬧我哋唔聽書?」

「唔好講到我咁變態!吖!講到變態,我仲可以問得再陰濕啲添!

x²A + x(B - 1) + C + 2

講多次 A、B、C 唔係常數而係變數,x 先係常數!我想問常數項係乜呢?

我仲可以整多題喔!

Show that the following should NOT be an identity.

x²A + xB + C+ 2 ≡ C + y -4A -2B

where A, B, C are variables and x, y are constant.」

創造講道理的空間

「考試會唔會咁考呀?」

「……(無視!)其實當中仲有兩個道理!第一就係當你哋學嘢愈多,試下諗番以前學咗嘅嘢有乜關係,會唔會同新學嘅有矛盾,當你諗通咗,可能會發現新一片天地!第二就係呢……你哋係我眼中就好似頭先講嗰堆英文字母咁 — 雖然你哋都係著住校服、屬於同一班,不過我會留意你哋有本質上嘅唔同㗎!」

「我覺得第二個有啲夾硬嚟喎!」

「隨便你啦!你哋而家應該可以做難啲嘅堂課!」

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