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教學的空間(四)數學篇:一變數一世界

2020/8/4 — 18:57

資料圖片,來源:Freepik

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【文:霍梓楠 @ 教育工作關注組】

中二數學的三條恒等式:

(a + b)² ≡ a² +2ab + b²
(a - b)² ≡ a² -2ab +b
(a + b)(a - b) ≡ a² - b²

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當中有一個學習難關,就算是能力較高的同學都需要些時間跨越的……

「各位同學,你哋覺得咁做有冇錯?

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(xy + b)² = xy² + 2xyb + b²

如果有錯,試下解釋埋佢嘅諗法!」

以錯誤引入ㅤ提升能力較高學生的興趣

某位同學立刻鼓掌:「精彩!做得好!」

「好感激呢位同學幫手搞氣氛。咁不如你講下精彩位喺邊?」

「就咁將個 變成 xy 就算,呢啲咪叫不求甚解,當做數係畫公仔囉!如果數學有咁簡單就好啦!」

「嗯!理論上,如果我哋將嗰三條恒等式寫成咁,就可以避免呢種錯誤嘅……

[(a) + (b)]² ≡ (a)² + 2(a)(b) +(b)²
[(a) - (b)]² ≡ (a)² - 2(a)(b) + (b)²
[(a) + (b)][(a) - (b)] ≡ (a)² - (b)²

不過咁樣太核突又嘥時間!而且你哋咁醒,只要搞清個概念就唔駛寫到咁啦!

所以正確答案應該係:

(xy + b)² = (xy)² + 2(xy)b + b² = x²y² + 2xyb + b²

喂!你哋唔會唔記得指數律 law of indices 吧?

展示題目多種不同解法

如果你哋識融會貫通,咁你哋可唔可以利用恒等式展開:

(a + b - c)(a - b + c)
(a + b - c)²

唔好以為有三個 terms 就做唔到呀!如果你咁諗,即係未完全學識呢課嘅精髓啦!」

「阿 Sir,可唔可以就咁展開(expand)呀?根本唔駛利用恒等式都做到啦!」

「當然可以就咁 expand,不過做完之後再利用恒等式睇下係咪真係一樣!呢位同學為我哋示範咗『殊途同歸』,感謝!」

「囧」

片刻之後……

「我哋一齊睇睇答案:

(a + b - c)(a - b + c) = [a + (b - c)][a - (b - c)] = a² - (b - c)²……(下略)

順便同你溫埋 a - b + c = a - (b - c) 呀!

(a + b - c)² = [a + (b - c)]² = (a)² + 2(a)(b - c) + (b - c)²……(下略)

有冇同學唔明?」

答案一樣不代表步驟正確

「阿 Sir,我想問第二條可唔可以咁樣 group 呀?

(a + b - c)² = [(a + b) - c)]² = (a + b)² - 2(a + b)(c) + c²……(下略)」

「咁你做出嚟個答案係咪一樣?」

「係!不過你講過,就算答案一樣都唔代表一定做得啱嘛!」

「駁得好,冇中我陷阱!咁你可唔可以正確解釋到每一步?如果可以,你嘅方法就係啱。放心,你係啱嘅!你令大家知道兩個安排括號嘅唔同方法,又係『殊途同歸』!多謝哂!

其實今堂最想你哋明嘅,係恒等式中嘅變數,唔單只可以代數字或者其他字母入去,仲可以代多項式、代數式(algebraic expression)入去呀!個變數就好似係一個空箱,代啲乜嘢入去,係有無限咁多可能性㗎,只要記住啲變數有個隱形括號『保護』住就得!

數學概念的藝術元素

有一首雋永嘅詩,雖然佢本身唔係想講呢樣嘢,其實我都冇真係研究過首詩……不過我覺得佢同我想表達嘅有啲似!

摘錄自 Auguries of Innocence By William Blake

To see a world in a grain of sand,
And a heaven in a wild flower,
Hold infinity in the palm of your hand,
And eternity in an hour.

徐志摩將佢翻譯成中文:

一沙一世界
一花一天堂
無限掌中置
剎那成永恆

我可以將佢強行改成:一變數一世界,一題目一……地獄!」

眾柴台!

學生發揮創造力的空間

「所以呢,喺我眼中,呢兩條恒等式嘅意思係一樣㗎!

咁樣仲唔係「一變數一世界」?其實運用呢個概念,可以證明

(a + b)² ≡ a² + 2ab + b²

其實同

(a - b)² ≡ a² - 2ab + b²

根本係同一樣嘢嚟!我之前都有提過啦,書都有寫,不過你哋果時唔多理我!有冇人記得點做呀?如果唔想太混亂,可以先將佢改寫成

(x - y)² ≡ x² - 2xy + y² 

記住啦,用乜嘢英文字母表達都得!」

「我記得!將第一條式嘅 變成 x,將 變成 -y 就得。」

「冇錯!呢個就係『一變數一世界』的妙用啦。喂!你嗰時唔係話死背咗就得,唔駛咁做咩?」

「因為駁過你嘴所以我印象咪深刻囉!」

「……你哋而家應該可以挑戰下書嗰啲有『hence』嘅題目。吖,等陣!我記得我係中一數學當有講過類似嘅概念!嗰時我教緊座標,話可以用座標寫一封情書:

『我與你的位置,永遠都是 (x, y) 與 (x+1, y)。』

言下之意,就係無論 同 的值是甚麼 — 就算係天涯定係海角定係邊度都好,你總會喺我身邊,永不分離!」

有同學靈機一觸衝口而出:「下一句就係 — 小三喺 (x-3, y) 𥄫住!」

眾大笑!

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