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【數學哲學】數、集合、函數存在嗎?數學實在論與反實在論的爭論、問題意識與重要性

2017/11/24 — 18:14

背景圖片來源:《a beautiful mind》劇照

背景圖片來源:《a beautiful mind》劇照

上一篇文章,我介紹了數學哲學與傳統柏拉圖主義的基本旨趣。讀者可能對這陌生課題有不少疑問:為什麼哲學家要關心數學?數學哲學的意義是什麼?數學哲學對於數學又有什麼重要意義 (significance) ?

數學與哲學早有淵源

縱觀整個人類歷史,數學與哲學早有淵源。古希臘哲學家非常重視數學,像柏拉圖、亞里士多德、畢達哥拉斯,都是當時知名卓越的數學家。他們認為數學是瞭解世界本質與真實的重要學問,在思考哲學問題時,也借助數學的力量。

事實上,在仍未明顯分科的時代,許多哲學家都是數學大師。笛卡兒創立解析幾何學、萊布尼茲(與牛頓同時期)建立微積分學、帕斯卡 (Blaise Pascal) 創立了數學概率理論。

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後來,諸如波爾查諾 (Bernhard P. J. N. Bolzano)、羅素、懷海德 (Alfred North Whitehead) 、希爾伯特 (David Hilbert) 、弗雷格 (Gottlob Frege) 、丘奇 (Alonzo Church) 、哥德爾 (Kurt Gödel) 和塔斯基 (Alfred Tarski) ……這些赫赫有名的偉大人物,不但在數學上作出過巨大貢獻,同時也積極探究數學哲學的終極難題。

因此,如果以為數學哲學只是現今哲學家弄出來的無聊玩意兒,那實在是不認識數學史之過。

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數學哲學的問題意識之一:與自然科學相近又不同

哲學家為什麼會關心數學哲學?主要原因之一是,數學是人類極為重要而嚴謹的學科,但這個學科卻擁有非常獨特的面貌。我們只要把數學與同樣重要嚴謹的自然科學相比,就能一目了然。

自然科學需要應用數學來探究經驗世界。在學校,我們就已經要學習運用數學運算來分析物理現象。當代自然科學理論也越趨數學化,運用數學概念作定義、推演與運算。數學與自然科學實在難以分離。

但另一方面,自然科學與數學在方法論和研究對象上卻顯得相當不同。自然科學依靠的是經驗方法,需要通過實驗觀察才能獲得相關知識;但數學定律似乎不需要進行實驗觀察,只需要通過純粹的理性思考與推演便能確認其真假。除此之外,自然科學研究的對象明顯是時空之內的事物,但數學研究的對象是否同樣為時空之內的事物,卻並不明暸確定。

因此,數學給哲學帶來了與眾不同的問題:數學的本質是什麼?數學論及的事物,例如數、集合、函數,它們是否真的存在?如果存在,這些事物是否非時空的抽象事物,還是物理或心理事物?如果這些事物不存在於時空之中,我們又如何可能獲得這些數學知識?數學理論的基礎又是什麼?

數學哲學的四大問題

當代數學哲學的討論,大多數是圍繞著當代數學柏拉圖主義 (mathematical platonism) 而展開[1]。當代數學柏拉圖主義主張:

  1. 數學物件存在[2];而且
  2. 數學物件是抽象事物[3],即是完全非物理的、非心靈的、非時空的;
  3. 我們的數學理論是對數學物件作出(字面意義上的)直述描述,而且這些描述是真的

(1) – (3) 都各有反對者。但無論是支持還是反對柏拉圖主義的哲學家,都必須處理以下四大問題:

(一). 數學的本體論難題

(二). 數學的知識論難題

(三). 數學受到廣泛應用的問題

(四). 如何理解數學語句的意思

(一). 數學的本體論難題

數學本體論需要處理的核心問題是:數學所論及的物件,像數、集合、函數,這些事物是否存在?如果它們存在,又是怎樣的存在物?數學柏拉圖主義對此的回答很簡單:數學物件存在,而且它們都是抽象事物。

如果柏拉圖主義的觀點正確,這將具有非常重大的哲學意義。因為許多哲學家都主張世上所有事物都是由時空內的物質(或物理事物)所構成,但數學柏拉圖主義卻承諾了非物理的、非時空的抽象事物存在。

抽象事物(除了數學物件外,例如命題、性質、關係,都屬抽象事物)如此古怪,既非物理的,也非在時空內;許多哲學家都不願意承認它們存在,並積極展開他們的反對工作。然而,有些哲學家卻相信,唯獨抽象的數學物件是特別難以反對其存在。畢竟連知名反對抽象事物存在的哲學家 W. V. Quine 最終也承認集合(作為抽象事物)存在。因此,數學物件可能是「抽象事物存在」的最後堡壘。

(二). 數學的知識論難題

數學的知識論難題,通常被視為數學柏拉圖主義需要處理的問題。

對於我們平常接觸的具體事物,例如太陽、山、水、電腦、大廈,都是通過實際的經驗觀察與分析從而獲得有關它們的知識。我們之所以能夠通過經驗觀察獲得這些事物的知識,自然是因為它們存在於時空之內,也和我們有某種因果聯系。

但如果數學物件是抽象事物,既不存在於時空之中,也不具有因果效力,身在時空之內的我們又如何獲得它們的知識?這在知識論看起來很難解釋。

(三). 數學受到廣泛應用的問題

正如本文一開始提到,數學廣泛而成功應用在科學理論裡。我們應該如何解釋這種現象?柏拉圖主義者對此提供了一個直接明晰的答案:由於數學物件存在,而且被我們的科學理論成功地應用。因此,這些應用數學的科學理論成功就不足為奇了。

然而,為什麼假設抽象事物存在,便能有助於解釋數學的廣泛應用成功,這一點並不特別清楚:數學物件作為抽象事物,它與存在於時空內的物理事物極為不同,兩者為何能扣上關聯,這是需要更多知識論理論闡明。換言之,它需要解釋(二)裡數學的知識論難題。

但無論如何,有些哲學家相信數學於科學上的廣泛應用,就是數學物件存在的主要理由。這種想法便是數學哲學上著名的不可或缺論證 (Indispensability Argument) ,其核心思想正正是:數學在科學中的應用是不可或缺的;故此,數學物件存在。

不可或缺論證的雛型先由奎因 W. V. Quine (1960) 提出,後來由普特南 (Hilary Putnam, 1971) 以不同的方式闡明。當代較為常見的版本是由哲學家 Mark Colyvan (2001a) 提出:

1. 我們應該(本體論地)承諾而且只承認,對於最佳科學理論不可或缺的物件存在

2. 數學物件是最佳科學理論裡不可或缺的物件

3. 所以,我們應該(本體論地)承認數學物件存在

不可或缺論證的推論形式通常被視為最佳解釋論證的一種形式,很少反柏拉圖主義者會拒絕這種推論方式;他們大多集中反駁前提 (1) 和 (2) 的合理性。然而,值得注意的是,不可或缺論證能夠證成的結論最多只是承諾了數學物件存在,並沒有承諾數學物件是抽象事物。因此,如果柏拉圖主義者要從不可或缺論證來證成他們的立場,就需要排除數學物件作為非抽象事物的可能性。

(四). 如何理解數學語句的意思

柏拉圖主義者主張我們應該從字面上理解數學語句。例如,當數學家聲稱「有無窮多的自然數」時,柏拉圖主義者就會把這句話看成是對「無窮多的自然數存在」的直述描述。在柏拉圖主義者看來,我們的數學理論都是對這些數學物件的直述描述。如果一個像「 3 是質數 」的數學陳述為真,便是建基於這個陳述提及的數學物件與其相應的性質和關係,即確實存在 3 這樣的數學物件,而且它確實具有 【 X 是質數】的性質。

柏拉圖主義的這個主張非常符合我們的一般直覺,因為它和我們的數學實踐相互一致。畢竟,當數學家說 「有無窮多的集合」時,最合理的做法似乎是把這個宣稱當成是字面理解,即這句話真的在主張無窮多的集合存在。

除此之外,考慮一下科學陳述如「電子在移動」,這句陳述應該按字面理解,而且其真假取決於陳述中提及的電子(科學物件)是否真的在移動。同理,數學陳述如「 3 是質數」的真假應該取決於 3 這個數學物件是否具有【 X 是質數】的性質。畢竟,柏拉圖主義者會宣問:為什麼數學和科學陳述並不是採用統一的語義理解?

然而,部分反柏拉圖主義者為了迴避承諾數學物件存在(因為其本體論承擔太重,即需要承認有別於日常具體事物的抽象事物存在),會將所有涉及數學物件的陳述重寫,或者重新制定它們,使得這些陳述並不需要承諾數學物件存在。實施這種策略的數學哲學家通常稱為「改述唯名論者 (Paraphrase Nominalist) 」[4]。這些改述唯名論者認為重寫數學陳述是合理的,因為只要當我們認真考慮各種理由後,便會發現根本不應該接受將這些真確陳述作字面的理解,否則便會承諾古怪的抽象事物存在。

數學哲學的實在論與反實在論之爭

大體而言,我們可以把上述四大問題放入「數學實在論 vs. 非實在論」的框架之中討論。

數學實在論 (Mathematical realism) 主張:我們的數學理論是對世界的某些真實部分的正確描述。反之,數學反實在論便是數學實在論為假的觀點[5]

數學實在論主要有數學柏拉圖主義 (mathematical platonism, or platonism ) 、心理主義 (mathematical psychologism) 與數學物理主義 (mathematical physicalism)  [6]。後兩者與柏拉圖主義的唯一分別是,它們主張數學物件不是抽象事物,而是心理或物理的事物。

至於反實在論,有大量不同的版本,而且不同哲學家對這些反實在論版本也有不同的分類方式以及命名(詳情可參考註腳 5 )。但無論如何,它們的共同之處是認為不存在我們數學理論所論及的數學物件。因此,我們的數學理論並沒有對世界提供任何真實部分的正確描述。

在此,我們使用哲學家 Mark Balaguer 的分類方法,並通過以下論證來闡釋不同數學形而上學理論: [7] 

1. 像「 3 是質數」這樣的數學語句應該以字面上的意義來理解,即它們應該被看作是「 a是 F  」的形式。因此,它是對某些事物的性質作出直述斷言。例如,「 3 是質數」應該被理解為對數 3 的性質作出直述斷言。

2. 如果像「 3 是質數」這樣的數學語句應該以字面上的意義來理解,而且它們是真的,那麼它們所指稱的數學物件實際上存在;例如,如果「 3 是質數」是就 3 的性質作出了直述斷言,而且這句子是字面意義上為真,那麼實際上就存在 3 這樣的數學物件。

3. 因此,如果「 3 是質數」這樣的數學語句為真,那麼就存在著數學物件。(由於 1,2 )

4. 如果存在數學物件的話,那麼它們就是抽象物件。(例如,如果有 3 這樣的數學物件存在,那麼它就是一個抽象物件,而不是一個物理或心理物件。)

5. 但抽象事物並不存在。

6. 數學物件並不存在。(由於 4,5 )

7. 像「 3 是質數」這樣的數學語句並不為真。[8]

這個論證是對確的 (valid),因此關鍵在於前提 (1) 、 (2) 、 (4) 、(5) 是否為真。支持整個論證的數學形而上理論稱為「數學虛構主義 (Mathematical fictionalism) 」。這個論證的特別之處在於,對於上述四個前提,每一個前提都有特定一個反對虛構主義的形上學理論去拒絕:

拒絕 (1) 的稱為「改述唯名論 (Paraphrase Nominalism) 」

拒絕 (2) 的為「新麥農主義 (Neo-Meinongianism) 」

拒絕 (4) 的是 「物理主義 (Physicalism) 」與「心理主義 (Psychologism) 」

拒絕 (5) 的是「柏拉圖主義 (Platonism) 」

在此,我們非常簡略闡明各個形上學理論的主張:

數學虛構主義 (Mathematical fictionalism) [9]

  1. 我們的數學句子和理論應該按字面理解,即它們的確在指稱數學物件
  2. 數學物件是抽象事物;
  3. 但是,不存在抽象事物;
  4. 因此,不存在數學物件;
  5. 所以,我們的數學理論與語句如「 3是質數」、「1+1=2」並不為真。

按照這觀點,像「 3 是質數」這樣的數學語句都是假的,因為根本不存在數學物件 3 ;這就像「玉皇大帝是男性」為假一樣,因為根本沒有玉皇大帝存在。虛構主義的難題之一是需要充分解釋為什麼數學家和一般人都認為「 3 是質數」為真。[10]

改述唯名論 (Paraphrase Nominalism)

  1. 我們的數學句子和理論並不應該按字面理解,它們並不指稱數學物件
  2. 因此,我們的數學句子和理論為真也好,並不承諾數學物件存在
  3. 因此,數學物件不存在

譬如,他們可能會把「 3 是質數」解讀成是「必然地,如果有數存在,則 3 是質數」;這樣的話,即使數學語句為真,也沒有承諾數學物件存在。

新麥農主義 (Neo-Meinongianism)

  1. 我們的數學句子和理論應該按字面理解,它們確實指稱數學物件
  2. 數學物件不存在
  3. 但是我們的數學句子和理論仍然為真

這個觀點看起來不太可能成立。因為,譬如「有無窮多個集合」這語句,如果它應該按字面理解並且為真,似乎能立即邏輯上推導出存在「集合」這樣的數學物件。根據哲學家 Mark Balaguer 的分析,這個觀點主要是透過改變「真」的定義來處理以上問題。

物理主義 (Physicalism) 與心理主義 (Psychologism) 

  1. 我們的數學句子和理論應該按字面理解,它們確實指稱數學物件
  2. 我們的數學句子和理論事實上為真
  3. 數學物件存在,但數學物件不是抽象事物,而是心理或物理事物。

這兩個觀點看起來很吸引,因為它們接受數學物件存在,卻不需要承諾抽象事物存在。然而,數學理論承諾了無窮多個集合或數,如果這兩個理論其中一個為真,那就難以解釋我們的心靈如何構造無窮多的數學概念,或者存在著無窮多的物理事物構成這些數學物件。

柏拉圖主義 (Platonism)

  1. 數學物件存在
  2. 數學物件是抽象事物,即是完全非物理的、非心靈的、非時空
  3. 我們的數學理論是對數學物件作出(字面意義上的)直述描述,而且這些描述是真的

數學哲學於數學的意義

現在,我們瞭解到幾個主要的數學形上學理論。有人也許問:這些數學形上學或本體論問題對於數學有什麼意義?我認為這問題就像問科學哲學於科學的意義是什麼一樣。對於許多科學家來說,科學哲學對他們的理論毫無重要意義。但這不表示科學哲學就因而沒有意義。

事實上,正如文首提到,許多數學大師都曾經關心數學哲學問題,而且他們都有特定的本體論立場。也許當數學家開始關心數學的終極問題時,他們就會開始關注數學哲學問題。還有,雖然數學哲學和數學活動似乎沒有必然關係,但兩者還是有一定相關性,譬如:

一,柏拉圖主義似乎最能解釋數學活動,因為如果柏拉圖主義為真,這就能充分說明數學家研究的對象真的是數、集合、函數…諸如此類的數學物件,以及它們的關係與性質;數學家在說「有無窮多的自然數」時,他是真誠地作如其字面意義上的宣稱;數學家不是從事像小說家的虛構工作,而是去發現數學的實在 (reality) 、真理。

二,哲學家 Øystein Linnebo 認為柏拉圖主義能夠保障非建構式的數學方法(如 non-constructive existence proofs)和非建構公理(如選擇公理),因為柏拉圖主義確保數學是被發現而不是被發明,那數學家就沒需要限制自己的建構方法和原理。

三,如果充分柏拉圖主義 (Plenitudinous platonism) 為真,即所有邏輯上可能的數學物件都實際存在,因而所有一致的純數學理論也都真實描述了某些抽象數學物件的集合;那麼它可能提供某種希爾伯特樂觀主義 (Hilbertian optimism) ,即令我們更樂觀地相信每一道數學問題原則上都可以得到解決。因為,如果數學是關於一些獨立於人類心靈的實在,而且我們一致的數學理論都對應那些實在,那麼每個數學問題就有一個獨特而決定性的答案,只是等待我們會發現。

(在下一篇章,我將會更詳細地討論不同的數學形上學理論)

註腳

[1] 本文的「當代柏拉圖主義」與上一篇提到的「傳統柏拉圖主義」的分別在於,前者主張「數學物件存在」的「物件」泛指任何東西,包括性質 (property) 、關係 (relation) 或結構 (structure) 的事物。而傳統柏拉圖主義主張的「數學物件存在」的「物件 (object) 」卻不包括像關係與結構的東西。這種區分的意義在於,一些支持柏拉圖主義的當代哲學家認為部分反柏拉圖主義的結構主義實情可以是某種柏拉圖主義,因為這些結構主義者同樣主張有數學論及的事物存在,而且它們都是抽象事物,只不過這些結構主義者並不承認這些事物本質上是一種「物件 (object) 」,而是「結構 (structure) 」。然而,當代支持柏拉圖主義的哲學家認為這種「物件」與「結構」的區分並不重要,他們大可暢快接受這些結構主義的立場,把傳統柏拉圖主義的「物件」定義為更廣義、泛指一切的事物,包括了(狹義下的)物件、關係、結構。據此,我們可以把「物件」分為廣義與狹義,前者泛指一切事物,後者特指只承載性質,或構成關係或結構的物件。在本文裡,除非有特別提到要使用狹義下的「物件」,否則一概取廣義的意思。

[2] 這裡的「物件」取廣義的意思,泛指任何東西,而非特指只承載性質,或構成關係或結構的物件。詳情見本文註腳 1 。

[3] 在本文裡,「事物」、「東西」、廣義下的「物件」都為同義,泛指任何東西。詳見註腳 1, 2 。

[4] 這裡的改述唯名論者並不等同一般的所謂數學唯名論者。 有些哲學家會將所有反數學實在論的立場都稱為「唯名論 (Nominalism) 」,但它與本文提到的「改述唯名論」並不同義。

[5] 由於數學哲學的各種形而上立場名稱並沒有統一共識,所以讀者在閱讀其他數學哲學的文獻時,應該小心留意其中理論的定義,避免因用詞問題而陷入概念混淆的迷障中。

[6] 有時數學哲學家會將「柏拉圖主義」與「實在論」這兩個術語交替使用。但嚴格來說,兩者並不等同。這些哲學家之所以把兩個術語交替使用,其中一個原因可能是他們大多認為柏拉圖主義是唯一站得住腳的實在論版本。

[7] 本文主要採用哲學家 Mark Balaguer 的分類方法來討論不同的數學形而上學理論,理由如下:第一, Mark Balaguer 是數學哲學的著名專家,他的分類方式是經過深思熟慮而恰當;第二,他的分類方法極具條理清晰,容易令初學者進入。當然,這種分類方式也許並非完全妥善。因為有些數學形而上學理論,譬如約定主義、傳統的直覺主義、形式主義,該歸類到以上分類的哪一個理論,是有爭議的。不過,為了令讀者不致混淆,我也會盡量提及其他哲學家對這些數學形而上理論的命名方式,詳見本文的其他註腳。

[8] 更嚴格地說,對於所有數學語句,如果它們預設了關於數學物件的特稱命題 (i.e. 存在一個 x, x 是…) ,它們便為假,例如「 1 + 1 = 2 」、「有無窮多的集合」。特別一提的是,虛構主義者可以允許有些數學語句為真,但它們是空洞地真 (vacuously true) 。譬如,如果自然數不存在,那麼像「所有自然數都是質數」這類全稱命題便為空洞地真,這就像「所有火星人都會飛」是空洞地真一樣。

[9] 在一般形而上學領域裡,虛構主義通常被理解成與虛構信念 (make-believe) 及虛構 (fiction) 有緊密關連的主張,例如道德形上學裡的虛構主義主張道德信念都是虛構的。但數學形上學裡的虛構主義並不一定與虛構的概念有必然關係,它僅宣稱本文定義中的主張。或許我們可以把數學虛構主義理解成道德形上學裡的錯誤理論 (Error theory) ,它們同樣主張該領域的陳述應該當字面理解、該領域裡的事物本體論上不存在,而且該領域裡的特稱命題都為假。

[10] 也許有人會說,玉皇大帝確實是男性啊。但這最多只能說是在神話故事中為真,而不是事實上為真。當我們說一個陳述為真時,是指它事實上為真,而不是在虛構的神話故事中為真。值得一提的是,某些虛構主義正好認為數學活動就像小說家虛構故事一樣,數學物件是人類虛構出來,所以我們會誤以為像「3 是質數」的數學語句是事實上為真,但實情不過是它在人類虛構的數學故事中為真,這就像我們以為玉皇大帝確實是男人一樣,但實情是我們最多只能說「玉皇大帝是男性」在神話故事中為真,而不能說它是事實上為真。

參考資料

Stewart Sharpiro (2000). Thinking about Mathematics
Dov M. Gabbay, Paul Thagard, John Woods, eds.(2009). Philosophy of Mathematics 
Mark Balaguer (2001). Fictionalism in the Philosophy of Mathematics
Øystein Linnebo (2013). Platonism in the Philosophy of Mathematics
Otávio Bueno (2013). Nominalism in the Philosophy of Mathematics
Leon Horsten (2017). Philosophy of Mathematics

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