一條數

一個月前敝欄提到 Ramanujan Summation,竟將加出個負數來。講開 Srinivasa Ramanujan,他其中一條數就令區區在近卅年前想了幾個月、幾年仍無頭緒,印象中是「第一次」拖拖拉拉了幾年、認認真真仍計不到的數。今天回眸當然容易了,上網一找就有答案。須知近卅年前仍未有 28k 或 56k 電話連線,根本不知何謂「上網」;仍未夠秤入大學圖書館,中學或公共的不似會有,何況當時只知這僅一條數,而不知由 Ramanujan 發明,怎找?問同學?人人考試為本,無人會有興趣。問阿 sir?睬你啦!

條數是這樣的:

點呢?最正路是設為 x,然後平方搬數再平方……都無用的。原來關鍵是要想到:

去到這步,公仔已畫出腸,答案呼之欲出。正式做法,其實是要用上這一步的:

固然,無人會無故想到 3。真正關鍵在於能否從 1√、2√ 、3√ ……聯想到:

(𝑛 + 2)² = 1 + (𝑛 + 1)(𝑛 + 3)

怎從前者觀察帶到後者?這當然要識得夠多公式,但茫茫腦海裏要找到這種連繫,一必先要時間試,二要富想像力、憑直覺去收窄試的範圍,三要靠點運氣。其實做數、做研究甚至做人的很多事情都如此。數學的「用」不即食,但卻如此一理通百理明。

你會對可能是很無聊的一道題死咬唔放,留在腦海好幾年嗎?

後記:廿餘年前曾拿這道題問過已故陳載澧博士。他即回答:嘻,唔玩呢啲 puzzle。

 

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