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大學數學學乜 — 好煩的定義

今次要介紹數學繁瑣、複雜、冗長的一面。那就定義。具體來說,今次要談「數字」的定義

數字,我們從小學已開始學習它們,然後在中學又學。而這所有數字,都可以一字排開,被放在一條無限長的線上,像下圖。(註,下圖不包括複數

但小學和中學老師卻不會跟你說清楚,這些數字的嚴格定義。例如,大家知道 1/2 代表「一半」,但「一半」只是日常生活的概念。但若要認真研讀數學,如到了大學程度,則不能夠如此求其。因為高等數學講求嚴格的邏輯論證(詳情可參閱〈數學的浪漫 – 第一篇〉第 2 部分),定義必須清楚。又例如圓周率 π,它大約等於 3.14,但它的小數位卻是無窮無盡的:3.1415926535… 我們應該如何嚴格地,清楚無誤地,定義一個有無限小數位的數呢?

這些,都會在大學數學學到。論難度,大概是二年級程度。我將與「數字」相關的定義,全部整理出來,請看下圖:

嘩!好複雜!

點解會咁複雜呢?我當然不能詳細解釋每一步是怎樣定義,但我可以簡單介紹下,有甚麼要定義

  • 由左下角開始,定義「0」
  • 向上一格,定義所有自然數 (natural numbers,ℕ):0, 1, 2, 3, 4, …
  • 然後向右一格,定義自然數的加法 (+)
  • 再向右一格,定義自然數的乘法 (x)
  • 再向右一格,定義自然數的順序,即是讓我們可以比較大小 (≤)

這便完成了自然數的全部定義。

  • 然後就可以升級,上一行,再由最左開始,定義所有整數 (integers,ℤ):… , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …。然後向右走,定義整數的加法、乘法、和順序
  • 然後又可以再上一行,定義所有分數,又稱有理數 (rational numbers,ℚ)。然後向右走,定義有理數的加法、乘法、和順序
  • 最後再上一行,終於可定義「所有數字」(數學上稱為實數,real numbers,ℝ)。然後向右走,定義它們的加法、乘法、和順序。當我們到達最右上角 “Complete ordered field” 那格,便大公告成啦!

 

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