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實數次方?齊來創造數學定義!

2019/10/8 — 13:30

網絡圖片

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近日,網上有 KOL 直指 10 的任何次方都不是負數:

這顯然是錯的,因為:

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如果我們說的是實數 (Real numbers) 次方,那麼 10 的任何實數次方確實不是負數。然而,我們只知 10 的 2 次方是 10 自乘 2 次、 10 的 13 次方是 10 自乘 13 次,卻不知道非正整數的次方為何物。難道 10 的 ? 次方是 10 自乘 ? 次? ? 又不是正整數,怎麼去數 ? 次?

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本文將會粗略討論如何擴展次方的定義至實數。如果你對建立和創造數學定義有興趣,本文或許適合閣下閱讀。

為方便起見,假設 a 為正實數:

生而為人,我們憑直覺就定義出自然數 (Natural numbers) 次方就是自乘 n 次:

從以上定義,我們歸納出 2 個性質:

現在我們就要開始做擴展工程。首先,什麼是擴展?簡言之,我們需要找出一個定義在目標定義域 (Domain)上的函數 (Function) ,而該函數符合性質 (1) 和 (2) ,以及能夠無矛盾地套用在舊的定義域上;同時,我們應驗證能夠符合性質 (1) 和 (2) 的函數只有我們找出的那一個。簡言之,我們要找出唯一一個這樣的函數。

1. 擴展至整數 (Integers)

假設該函數符合性質 (1) 和 (2) :

這逼使我們必須定義:

驗證定義符合性質 (1) 和 (2) :

我們成功定義出整數次方了。

2. 擴展至有理數 (Rationals)

假設該函數符合性質 (1) 和 (2) ,以及函數的輸出 (Output) 是正數:

這逼使我們必須定義它為 xⁿ = a 的正數根。因為函數必然有唯一一個輸出,我們需要證明 xⁿ = a 的正數根必定存在而且是唯一的。

證明正數根的存在性:

要證明正數根的存在性,我們首先要學會最小上界 (Supremum) 的概念。假設我們有集 {1, 2, 3} ,那麼這個集的極大值 (Maximum) 就是 3 , 3 是集裡面最大的數值。然而,如果我們考慮的是不包括 0 和 1 的區間 0< s < 1 , s 是沒有極大值的: 0.9999 < 0.99999 < 0.999999 < ... ,如此類推,我們永遠都能找到一個比 1 小但比前者更大的數值。此時,我們可以定義出最小上界為 1 。簡言之,我們可視最小上界為「(可能)不存在於集內的極大值」。最小上界的嚴謹定義是:

u 是集 S 的最小上界:對於任何正實數 ε ,我們都能找出集內元素 s 符合 u-ε < s 。

有了最小上界之後,我們就可以找出一個正數根(詳見附 1):

證明正數根的唯一性:

設 x₁ 和 x₂ 為兩個正數根,我們將證明 x₁ = x₂ 

證明出正數根是存在及唯一,於是我們就能光明正大地定義:

驗證定義符合性質 (1) 和 (2) :

我們成功定義出有理數次方了。

3. 擴展至實數 (Real numbers)

要在實數上做定義,我們需要學會 3 個新概念:收斂數列、柯西數列、連續函數。

{bₙ} 是一個收斂於 B 的收斂數列:對於任何正實數 ε ,我們都能找出自然數 N 符合「若 n > N ,則 |bₙ-B| < ε」

{bₙ} 是一個柯西數列:對於任何正實數 ε ,我們都能找出自然數 N 符合「若 m, n > N ,則 |bₘ-bₙ| < ε」

(柯西數列的意思是數列 {bₙ} 中排得非常後的數字們差距非常小)

函數 f(x) 在 x = c 上是連續的:對於任何正實數 ε ,我們都能找出正實數 ? 符合「若 |x-c| < ? ,則 |f(x)-f(c)| < ε」

f(x)是連續函數:f(x)在所有x上都是連續的

除此之外,我們亦需要連續函數的性質。若果 f(x)在x = c 上是連續的,則有(詳見附 5):

若 {xₙ}, xₙ ≠ c, 為一個收斂於 c 的收斂數列,則 {f(xₙ)} 是一個收斂於 f(c) 的收斂數列

另外,相信大家都知道任何一個實數 r ,都有一個有理數數列收斂於 r 。

有了這些定義和性質,我們可以開始擴展工程了。

假設該函數符合性質 (1) 和 (2) ,以及該函數是連續的:

這逼使我們必須定義函數 aʳ 為上述右邊的極限:

同樣,我們需要驗證這個函數的每個輸出是存在及唯一。

證明該極限的存在性:

要證明極限的存在,即要證明該數列收斂。在證明收斂的過程中,我們會運用到剛才定義在有理數上的函數 f(q) 的連續性質(詳見附 2)。除此之外,我們要知道在實數上,收斂數列是等同於柯西數列。

開始證明:

所以我們完成了存在性的部份。

證明該極限的唯一性:

根據極限的定義,極限就是唯一的。

證明過存在性和唯一性後,我們就能名正言順地定義:

驗證定義符合性質 (1) 和 (2) :

驗證的過程中,我們運用到極限乘法性質(詳見附 3)以及函數 h(a) 的連續性(詳見附 4)。

我們成功定義出實數次方了,終於成功將次方函數擴展至實數上!

最後,根據此定義,我們便可立即得出「10 的任何實數次方都不是負數」。

附錄:

附 1

附 2

附 3

這個證明非常正路,讀者可嘗試自行證明。

附 4

附 5

原刊於作者 Medium

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