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【搞笑諾貝爾系列】物理獎:咖啡濺出的原因和解決辦法

2020/8/14 — 9:00

大家有試過沖好咖啡後,開開心心地把咖啡倒進杯中,正在拿回辦公室享用的途中的時候,明明小心翼翼、身體沒什麼大動作,咖啡仍然會濺出嗎?發生這樣的情況時,簡單是沮喪至極了,積極工作的心情都會被地心吸力吸引的咖啡沖走。

在 2012 年, H. C. Mayer 與 R. Krechetnikov 發表過一份研究,並在同年獲頒搞笑諾貝爾物理學獎。他們發現咖啡杯幾何形狀、咖啡的性質、行走時的人體力學都是影響咖啡會否濺出的因素。有些後續研究分別從這幾方面深入分析,在這文章中我就介紹其中一個由 Jiwon Han 在 2016 年發表的研究,主要分析咖啡杯幾何形狀的貢獻。

這研究中的研究員發現分別使用咖啡杯與酒杯,灌入相同份量咖啡,再用機器以固定頻率水平搖動,兩者的咖啡淺出情況有所不同。當頻率為 4 Hz 時,咖啡杯內的咖啡波動幅度很大並會濺出杯外,相反酒杯內的咖啡卻只是處於週期波動狀態。當頻率下降至 2 Hz 時,情況卻恰恰相反:酒杯內的咖啡濺出而咖啡杯卻沒有。這情況令研究員懷疑杯的幾何形狀是影響咖啡波動幅度的重要因素。

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經過一連串實驗之後,研究員發現原來令咖啡濺出的原因是共振。共振是指一個系統內的能量傳播集中在某頻率,結果就會大大增強了單一頻率內的能量。這種似於很多個小波浪疊合成一個大海嘯,利用波浪會互相疊加或抵消的特性就能較直觀地理解。

例如,假設我們有一個波長為 1 米的小波浪(由於波長反比於頻率,我們也可以選擇用頻率去理解,不過在海浪例子中用波長比較易理解)。現在,我們可以自由選擇把不同波長的波浪疊上去。怎樣才能最有效地加強波幅,得到一個海嘯般的大波浪呢?相信顯而易見的方法就是把一樣波長等於 1 米的波浪疊上去就可以了。

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可以想像,雖然如果把不同波長的波浪也疊上去,在某些位置的確會加強了波幅,但在其他地方也會抵消了波幅。因此,只是相等於原本小波浪波長(1 米)的波浪,才能持續地加強波幅,造成大海嘯。

平常在大海中,不同波長的波浪不斷出現,雖然偶爾會有相同波長的波浪互相疊加,但是其他更多不同波長的波浪也會把疊加效應抵消掉。還有一個問題就是,波浪的前進方向不同也會使疊加效應只持續一瞬間就會消失。因此除非某地方發生大地震,我們才需要擔心發生海嘯,因為地震會以特定頻率集中釋放能量,使其製造出的波浪擁有特定波長。

不過,如果我們想像在一個小水池甚至一個杯子中的情況,結果就會有所不同。不同頻率或波長的波浪會繼續互相疊加和抵消,但波浪會碰到水池邊而反彈。這樣就會使波浪不斷重複疊加,最後導致不同波長的波浪都互相抵消掉了,只剩下對應於容器共振頻率的波浪不斷疊加。這就稱為共振。

每種物質都有其各自共振頻率,指該物體偏向吸收能量的頻率。例如我們常用的微波爐,也是因為食物裡面的共振頻率位於微波波段,所以用發射微波的方式加強水份子的振動幅度,從而加熱食物。

使用以上例子,我們就可以理解,不同形狀的杯在選擇吸收某一震動頻率的能量後,再傳給杯裡面的咖啡之中,就會使咖啡濺出杯外。

研究員的下一個目的就是找出為什麼人在行走時會出現哪些頻率。結果發現,人類在行走時會在前後、左右、上下三個方向以幾個頻率振動,而前後方向的震動的其中一個頻率與咖啡杯的共振頻率吻合。令人意外的是,這個頻率並非一直以來認為的人類步行時的手部上下擺動頻率大約 2 Hz(實驗發現是 1.7 Hz ;人在 1 秒鐘內大概行 2 步),而是前後擺動的一個一階諧波(Han 文章中誤寫為二階諧波),頻率約為 3.5–4 Hz 。

文章開頭介紹的實驗已經顯示咖啡杯的共振頻率是 4 Hz。因此,研究結果顯示咖啡濺出的理由並不是上下擺動而是前後擺動,亦支持共振才是咖啡濺出理由的原因。

研究員發現有幾個方法可以減低咖啡共振的機會:倒後行、在咖啡上加上一層薄的泡沫、使用口徑很小的杯,以及用手抓着咖啡杯頂部的拿杯方法。

在倒後行的實驗裏,研究員發現前後方向的一階諧波擺動差不多完全消失(這也是上下擺動並非共振原因的另一依據);加上泡沫能能夠產生阻尼 (damping) 抵抗咖啡的波動;咖啡杯口徑越少,其共振頻率就越高,而正常步行時不會產生高頻率振動。

最有趣的是最後一個方法:用手抓着咖啡杯頂部。到這裡為止的解釋都是基於,當用手握住咖啡杯杯耳時,整個手部連同咖啡杯可以類比成一個鐘擺,並用鐘擺的動力學模型去理解。但當使用手抓着咖啡杯頂部時,由於手腕和手臂之間能夠擺動,這就好比形成了一個雙鐘擺系統,多出來的自由度(手腕和手臂間的擺動)就會改變系統的共振頻率。

綜合上述方法,看來用手抓着咖啡杯頂部也是實際可行的嘛!這研究也解釋了為什麼泡沫咖啡比較不易濺出。當然,這研究只探討咖啡杯的幾何形狀,對其他因素例如咖啡的黏滯性都忽略不計。這些比較複雜的問題在 H. C. Mayer 與 R. Krechetnikov 的得獎研究中都有所分析。此文章只介紹了 Jiwon Han 對咖啡杯的幾何形狀的後續研究,有興趣的讀者可以參考文末的連結閱讀兩篇論文。

相關論文:

  1. Han, J. (2016). A Study on the Coffee Spilling Phenomena in the Low Impulse Regime. Achievements in the Life Sciences, 10, pp. 87-101. doi: 10.1016/j.als.2016.05.009
  2. Mayer, H. C. & Krechetnikov, R. (2012). Walking with coffee: Why does it spill?. Phys. Rev. E, 85, 046117. doi: 10.1103/PhysRevE.85.046117

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