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連登數學題:「A 升 35% , B 就會升 25% ,咁 A 升 1% B 升幾多%?」

2020/10/18 — 9:58

今日,有一位陌生連登用戶向我發出私人訊息。他說他在以下連登中學數學問題的帖子中留言。他認為自己答案正確,然而他不太懂得證明。

連登帖子中有各式各樣的不同答案,到底正確答案是什麼?

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題目道:「A 升 35% , B 就會升 25%」。我們先假設 B 為 A 的函數,即 B = f(A) ,並設 A 和 B 均為正實數 (Positive real numbers) 。根據題目的前設,我們得出以下函數方程 (Functional equation) :

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根據題目,我們應假設這條函數方程能被所有正實數A滿足,亦即以上函數方程對於任意正實數A都成立。

設 A' = 1.35 A 。據上述函數方程,我們有 1.25 f(A') = f(1.35 A') ,因此 1.25 × 1.25 f(A) = 1.25 f(1.35 A) = f(1.35 × 1.35 A) 。如此類推,我們得出另一條函數方程:

注意 n 為自然數(Natural numbers),我們寫 1.25ⁿ 以表達 n 個 1.25 自乘,即:

中學數學不太差的讀者或許已經想到:既然題目問 A 升 1% 時 B 會上升多少,找出方程式 1.35ⁿ = 1.01 的解,再代入函數方程裡不就能得出答案了嗎?

非也。上面已經說過函數方程中的 n 必須為自然數,但哪裡會有自然數 n 滿足 1.35ⁿ = 1.01 ?此做法不可行。

因此,我們正面對 2 個選擇:一、找出滿足上述只建立在自然數 n 上函數方程的函數,並觀察當 A 上升 1% 時該函數的情形;二、對函數方程進行擴展至實數。

假如我們選擇方法一,我們則會有不止 1 個答案。事實上,任何數字都可以是答案。設 g(x) 為一個定義域為 [1, 1.35) 的任意函數,設 m 為整數 (Integers) ,將此函數乘以 1.25ᵐ 並重複到區間 [1.35ᵐ, 1.35ᵐᐩ¹) ,不斷拓展至整條正實數線上,並命名其為 f 。以此做法得出的 f 則滿足 n 為自然數的函數方程 1.25ⁿ f(A) = f(1.35ⁿ A) 。因為 g 是任意的函數,答案不是唯一。

選擇方法二的話,相信看過我上篇文章《實數次方?齊來創造數學定義!》的讀者大概記得如何做擴展。正因為實數次方的擴展是唯一的,所以我們可以將求得的 n 代入擴展後的函數方程,得出唯一的答案。

總結:這道題目嚴格上來說並沒有唯一答案,任何數字都可以是合理的解答。不過,多數人會傾向選擇方法二解答,從而得出唯一答案,因為方法二更能保留我們對數字的直覺。簡言之,有一個答案比其他答案更適合作為答案。

P. S. 若果在方法一中加上其他前設,亦同樣可以逼使出唯一答案,即方法二所得出的答案。然而,論證過程需要運用到更艱深的數學概念,或許留待以後有時間再詳寫。

原刊於作者 Medium

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