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雞先?蛋先? (2)

2021/4/23 — 22:44

資料圖片,來源:Brayden Law @ Unsplash

資料圖片,來源:Brayden Law @ Unsplash

上次談及雞先或蛋先問題,意猶未盡。

今次的主角是希帕索斯(Hippasus),生活於大約公元前 500 年古希臘,生卒年月不詳,屬畢達哥拉斯(Pythagoras,約公元前 570-495)學派門生。

希帕索斯(Hippasus)

希帕索斯(Hippasus)

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畢達哥拉斯學派教條之一,是「萬物皆數」。此「數」是指整數(number);如非整數,便是整數合成的分數(fraction,有理數),再沒有其他了。

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希帕索斯想出一個例子,輕易用畢氏定理(Pythagoras Theorem)推翻了畢氏學派這教條。

他的例子,是一個等腰直角三角形,即三角形其中兩條邊相等(設定為 a),夾角為直角(90 度)。利用畢氏定理,於是 2a² = c²,c 為斜邊。

假定 a 和 c 都是整數。但這是不可能的:如果 a 和 c 均為偶數,我們可以將三角形縮小一半,然後繼續下去,直至 a、c 其中之一為奇數。

好了,現在假定 c 為奇數,則 c² 也是奇數,但 2a² 明顯是偶數,故 2a² = c² 不可能。如果 c 為偶數,那麼可寫成 c = 2d,於是 c² = 4p²,從而 2a² = 4p²,即 a² = 2p²。故此 a 不可能是奇數,而是偶數,這也是不可能,因上文是「a、c 其中之一為奇數」。

於是,除了整數、分數之外,出現了無理數。無理數包括:√2、√3、圓周率、自然對數e等等。

希帕索斯的例子,同時又推翻畢氏學派的另一個想法。畢氏學派認為萬物皆是原子組成(對,那時已經有原子的觀念,認為原子是所有物質的基礎,只不過當時人們覺得所有原子都是相同的),故此所有長度均可用原子的數目來表示。問題就出在這裡 — 譬如,我們的電腦屏幕,是由像素(pixel)組成。然而,由於上述例子指出的矛盾,我們不可能在電腦屏幕上繪製一個完美的等腰直角三角形:一些地方須要「調整」配合,例如「直角」不可以是完美的 90 度;三角形的等邊不可能完全相等;三角形的邊不可能是完全直的,等等。

奇怪,古希臘數學家不太接受希帕索斯的論點。他們反而覺得,既然數字不足夠描繪一些簡單、他們視之為神聖的幾何圖形,於是將算術「降級」,將之服膺於幾何之下。當然,這不是十分正確的做法。

參考:A Beautiful Question – Finding Nature’s Deep Design, p. 24-26, F. Wilczek, Penguin Books, 2015.

 

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