Pi 是永恆（二）

余海峯

2016/5/17 — 8:00

阿基米德／ Wikipedia

上回我說亞視永恆。但我錯了，亞視已執粒。不過圓周率 π 卻是真的永恆，不會錯。

今次我們來看看，在公元前兩百多年，阿基米德 (Archimedes) 是如何計算 π 。阿基米德用的方法叫做窮盡法 (method of exhaustion)，但我喜歡叫它做三文治方法。以下就讓我們試試把 π 像夾三文治般夾出來。

首先，想像有一個半徑為 R 的圓形，在圖的內外各畫一個緊貼著的正方形。由下圖中可以看出，外面較大的正方形邊長為 2R 、裡面較小的正方形對角線就是圓形的直徑，長為 2R 。

畫得樣衰，sor9ly sosad。注意 B = R 只有正方形 (n = 4) 才成立。

我們想要知道圓周，那就可以計算 π = C/(2R) = （圓周/直徑）了。由上圖可知圓周 C 比內正方形週界 p 長、比外正方形週界 P 短。因此

p ≤ C ≤ P 。

那麼，p 和 P 分別有多長？在《畢氏定理 X 圓 X 三角學》文中我們學會了用三角函數去表示三角形邊長之比。看上圖可知 b = R sin θ 和 B = R tan θ 。在我們上圖中正方形的例子中正方形有 n = 4 條邊，因此 p = 2n × b 、 P = 2n × B 、 θ = 360/(2n) = 360/8 = 45 度。所以我們就有

2nb ≤ C ≤ 2nB，

2nR sin [360/(2n)] ≤ C ≤ 2nR tan[360/(2n)] ，

n sin(180/n) ≤ C / (2R) ≤ n tan(180/n) 。

所以，當我們使用 n = 4 的正方形去夾圓形時，就可以知道 π = C/(2R) 介乎 4 sin(45) ≈ 2.828 和 4 tan(45) = 4 之間。似乎使用正方形去夾並不足夠。我們可以增加邊的數量 n 去逼近，π 如下圖：

想像當 n 越來越大，外內圖形就會越來越像一個圓形。當 n 趨向無限大時，我們就有

lim_n→∞ n sin(180/n) ≤ C/(2R) ≤ lim_n→∞n tan(180/n) 。

我們嘗試計算 lim_n→∞ n sin(180/n) 和 lim_n→∞ n tan(180/n) 。把兩式各乘以 (180/180)，就有

lim_n→∞ n sin(180/n) = limn→∞ 180 × sin(180/n)/(180/n)

以及

lim_n→∞n tan(180/n) = lim_n→∞180 × tan(180/n)/(180/n) 。

我們可以把 180/n 叫做 x ，所以 n 趨向無限大就即是 x 趨向 0。如果各位有學過極限，就必定學過 lim_x→0 tan(x)/x = 1 和 lim_x→0 sin(x)/x = 1 ，這是考試必考之題（嗱，我貼緊題喇）。於是我們就有答案

180 ≤ C/(2R) ≤ 180 ，

即是 π = C/(2R) = 180 度，用角度 (degree) 與孤度 (radian) 的定義，即是 C/(2R) = π rad。阿基米德當年用了兩個正 96 邊形去夾，得出 π 介乎 3.1408 與 3.1428 之間。今天我們可以輕易地用電腦去算，如下圖般我用兩個正 1024 邊形去夾，得出 π 介乎 3.14159 與 3.14160 之間。