Pi 是永恆 (二)
余海峯2016/5/17 — 8:00
阿基米德 / Wikipedia
上回我說亞視永恆。但我錯了,亞視已執粒。不過圓周率 π 卻是真的永恆,不會錯。
今次我們來看看,在公元前兩百多年,阿基米德 (Archimedes) 是如何計算 π 。阿基米德用的方法叫做窮盡法 (method of exhaustion),但我喜歡叫它做三文治方法。以下就讓我們試試把 π 像夾三文治般夾出來。
首先,想像有一個半徑為 R 的圓形,在圖的內外各畫一個緊貼著的正方形。由下圖中可以看出,外面較大的正方形邊長為 2R 、裡面較小的正方形對角線就是圓形的直徑,長為 2R 。
畫得樣衰,sor9ly sosad。注意 B = R 只有正方形 (n = 4) 才成立。
我們想要知道圓周,那就可以計算 π = C/(2R) = (圓周/直徑) 了。由上圖可知圓周 C 比內正方形週界 p 長、比外正方形週界 P 短。因此
p ≤ C ≤ P 。
那麼,p 和 P 分別有多長?在《畢氏定理 X 圓 X 三角學》文中我們學會了用三角函數去表示三角形邊長之比。看上圖可知 b = R sin θ 和 B = R tan θ 。在我們上圖中正方形的例子中正方形有 n = 4 條邊,因此 p = 2n × b 、 P = 2n × B 、 θ = 360/(2n) = 360/8 = 45 度。所以我們就有
2nb ≤ C ≤ 2nB,
2nR sin [360/(2n)] ≤ C ≤ 2nR tan[360/(2n)] ,
n sin(180/n) ≤ C / (2R) ≤ n tan(180/n) 。
所以,當我們使用 n = 4 的正方形去夾圓形時,就可以知道 π = C/(2R) 介乎 4 sin(45) ≈ 2.828 和 4 tan(45) = 4 之間。似乎使用正方形去夾並不足夠。我們可以增加邊的數量 n 去逼近 ,π 如下圖:
想像當 n 越來越大,外內圖形就會越來越像一個圓形。當 n 趨向無限大時,我們就有
limn→∞ n sin(180/n) ≤ C/(2R) ≤ limn→∞n tan(180/n) 。
我們嘗試計算 limn→∞ n sin(180/n) 和 limn→∞ n tan(180/n) 。把兩式各乘以 (180/180),就有
limn→∞ n sin(180/n) = limn→∞ 180 × sin(180/n)/(180/n)
以及
limn→∞n tan(180/n) = limn→∞ 180 × tan(180/n)/(180/n) 。
我們可以把 180/n 叫做 x ,所以 n 趨向無限大就即是 x 趨向 0。如果各位有學過極限,就必定學過 limx→0 tan(x)/x = 1 和 limx→0 sin(x)/x = 1 ,這是考試必考之題 (嗱,我貼緊題喇)。於是我們就有答案
180 ≤ C/(2R) ≤ 180 ,
即是 π = C/(2R) = 180 度,用角度 (degree) 與孤度 (radian) 的定義,即是 C/(2R) = π rad。阿基米德當年用了兩個正 96 邊形去夾,得出 π 介乎 3.1408 與 3.1428 之間。今天我們可以輕易地用電腦去算,如下圖般我用兩個正 1024 邊形去夾,得出 π 介乎 3.14159 與 3.14160 之間。
電腦計算出用正多邊形的三文治方法夾出來的圓周率。紅點是下限、藍點上限、紫色直線是圓周率的真正數值。
這就是如何用窮盡法去找出圓周率 π 。下次再介紹多些 π 的趣事。
π 是永恆。
延伸閱讀:
《古希臘的科學 (五) 撐起地球的支點》/余海峯
《畢氏定理 X 圓 X 三角學》/余海峯
《三角 X 斜率 X 微積分》/余海峯
《加菲證明畢氏定理》/余海峯
原文刊於作者博客
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