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五次方程

二次方程 ax2+bx+c= 0,相信中四的都識解。至於三次方程,有著名的 Cardano formula 處理 ── 沒錯,Cardano 就是近期爆升的加密幣(ADA)。四次方程已少碰見,五次或以上的更早已證明是一般無解。哼,豈料近做研究項目時,真的碰上五次方程。

其實,取泰勒近似(Taylor approximation)也可以的,不過有時x未必接近 0 或 1 或某個值,這就做不到了。區區要解的其實是 x5+ax+b=0,直覺覺得這「簡化版」應有得搞。果然,上網一找之下,真的有法。不過原來原文也很近期才發表:1994 年。數學上,近一個半個世紀已算近了,遑論是近卅年。作者為 Spearman and Williams。

當x夠大(→+∞)或夠細(→-∞)時,等號左邊的都由最高次方的話事。因此,以上段那條為例,x夠大時左邊會夠正,x夠細時左邊會夠負,故途中一定會經過x軸,即起碼有一實根(real root):當左邊是 0 的x值。研究員證明了當 44a5+55b4>0 時,那特定五次方程剛好有一個實根。至於那根如何,有點複雜,還請自行上網找來看。

其實這些都只涉及加減乘除和開方,無啥深奧,一般人還應勉強看得懂大概的。

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