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天體物理的不可測

2020/8/30 — 10:10

An animation of the figure-8 solution to the three-body problem over a single period T ≃ 6.3259. credit: MaxwellMolecule, CC BY-SA 4.0, https://bit.ly/31FEBDz

An animation of the figure-8 solution to the three-body problem over a single period T ≃ 6.3259. credit: MaxwellMolecule, CC BY-SA 4.0, https://bit.ly/31FEBDz

最具定律 / 法則規範的,若社會科學的代表是經濟,那自然科學的代表應是物理。很多人以為經濟的所謂定律/法則皆任吹,物理的就寫得很死。如果寫得死就測得準,測天氣就不會常出錯了,因為有混沌。所謂混沌,坊間普羅大眾讀物的解釋多是吹水,經典例子是蝴蝶效應 ── 見數學氣象學家Edward Norton Lorenz於1972年一文,題為「Predictability: Does the Flap of a Butterfly’s Wings in Brazil set off a Tornado in Texas?」

其實早在19世紀末,Henri Poincaré(龐加猜想那人)已提出早期混沌經典例子:三體問題(three-body problem)。兩體容易計,互繞對方轉就是了(視乎觀點與角度)。但三體一齊就無定論了,視乎開始觀察時(t = 0 )三者的位置和速度,結局會各異。

在一個動態系統裏,混沌現象須符合三個要求:

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  1. 對初始條件敏感;
  2. 拓撲上容許傳遞(在一開放集內任意兩點能相連);
  3. 週期軌道成密集(dense set)。

在一般天體運行中,第二、三點通常自動滿足。所以在三體問題上,改變初始值,就得混沌結果。以可分析求解的有限(restricted)三體問題為例,假設其一質量極小,模擬這極小質量軌跡的速度和相對位置,代入六個不同初始值,得出以下模擬結果:

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不必理會那些初值代表什麼,只需知道僅其中一個值在微調就夠了。從六圖所見,左方四幅都屬混沌現象,速度和相對位置皆不可測;右上的屬共振結果,屬較為可測,但有幾種可能。只有右下一圖得出可測軌道,是既無混沌亦無共振的「正常」結果。

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