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教學的空間(五)數學篇:殊途未必同歸

2020/8/6 — 9:12

資料圖片,來源:Freepik

資料圖片,來源:Freepik

【文:霍梓楠 @ 教育工作關注組】

判斷此等式是否恒等式:

(y - 4)² = y² - 16

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做這類題目有兩個方法:第一個方法是將兩邊所有括號拆掉、化簡然後小心對照兩邊的同類項,這個方法一定 work。

第二個方法是代數字入 然後比較兩邊的值,不過這個方法卻不一定 work。如果你選擇了一個數字去代入,結果兩邊的值不相等,那肯定不是恒等式,恭喜你成功解決此題。不過,以此題為例,如果你選了 4 代入 y,兩邊都是等於 0 的話……

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鼓勵學生解釋常見概念錯誤

「各位同學,而家兩邊都係 0 喎,我可唔可以話佢係恒等式呀?可以嘅話請舉手!」

冇同學舉手。

「咁我放心啦!冇舉手嘅同學,誠意邀請你解釋下點解唔可以!要用番恒等式嘅定義去講呀!」

「無論 係乜嘢,左右兩邊計出的值都一定相等吖嘛。只係試咗一個數梗係唔夠啦!」

另一位同學問:「咁如果我再揀過另一個數去代,而且又係兩邊相等,咁得未呀?」

有「幫得手」同學代答:「梗係唔得啦!都話無論 係乜嘢數都令兩邊相等先得咯!你只係試咗兩個數,咁第三個數、第四個數都未試!」

「問嘅問得好,答嘅都答中咗個關鍵!嗯!我舉另一個極端嘅例子,只係改少少就得:

0 = y² – 16

你哋之後會學點樣 solve 佢,不過而家重點唔係 solve 佢,雖然我懷疑你哋而家都識 solve 啦!講番正題,大家應該一眼就睇到佢冇可能係恒等式啦!不過,如果你揀咗正 4 同埋負 4 代入 嘅話,都係兩邊相等喎!所以就算有兩個數『成功』咗,都唔代表佢一定係恒等式呀!

如果大家諗深一層,就知道第二個方法只可以證明等式唔係恒等式,但唔可以用嚟證明等式係恒等式,因為你冇可能試哂無限個數字!」

(筆者註:萬一有同學知道 “Any polynomial of degree n has n roots”,他會知道這條題目最多試三個數就可以作判斷!教師適宜個別指導這類見識廣博的同學!)

解釋不同方法的優缺點,刺激思考

「吓?咁即係只學第一個方法,就可以做哂所有題目啦!」

「理論上係㗎,不過我有兩個回應!首先,乜你唔覺得學咗第二個方法係可以鞏固你哋嘅恒等式概念咩?至於另一個回應,可以用呢條題目示範:

判斷此等式是否恒等式:

(n – 2)² + n(5n + 6) = 2(3n – 2)(n – 1)

我只係用三秒就知道佢一定唔係恒等式啦!如果你哋只係識第一個方法,就要用耐啲時間展開(expand)兩邊啦!」

「嘿!我唔駛完全展開都 check 到啦!等我睇睇兩邊嘅 n² 項同埋個常數項先……吖!阿 Sir 你連呢點都算計埋我!」

同一技巧可運用於不同課題、題型

「呵呵!你係咪發現咗兩邊嘅 n² 項同埋常數項都一樣呢!不過等陣先!呢位同學識得係未完全展開晒嘅情况只係睇 n² 項同埋常數項,咁證明你做展開做得好熟啦!唔知其他同學跟唔跟到佢個邏輯呢?不如我誠意邀請你下一堂出嚟同大家解說!呢個技巧喺其他課題,仲有做 MCQ 都好有用㗎!不過而家我想集中講番,點解第二個方法可以『秒解』!有冇其他同學識?」

「代 0 入去通常都係最方便啦!」

「咁你試下!」

「哇!竟然一樣都係 4!阿 Sir 你好陰險!!」

「代 0 入去的確好快,不過可惜呢度唔 work 喔!呵呵!」

「唔係 0 咁係 1 囉!」

「你撞啱咗,我第一時間係諗代 1 入去嘅!點解?因為我想令右手邊變咗 0。之後,左手邊只需稍稍觀察就知道一定係正數:

  • (n – 2)²:任何(實)數嘅二次方都係正數;*
  • + n(5n + 6):一睇就知出正數啦!

所以佢肯定唔係恒等式!搞掂!咁做係咪快過你展開兩邊呢?另外,其實呢個係『伏線』,聽日教到嘅題型係同呢個技巧有啲關係!好想學吧?」

根據學生能力說明及解釋要求

「萬一我用咗第二個方法證明佢係恒等式,咁考試有冇分?」

「我會將呢個錯誤歸類為概念錯誤!你咁做係學錯咗恒等式概念、搞錯咗邏輯!就算你真係有分,我會扣你印象分!!如果你將呢種錯誤邏輯用喺其他地方,係好危險㗎!」

「阿 Sir 係咪又想講人生道理呀?」

「……留番遲啲先講啦!時間唔多夠,我想你哋而家做一個特別嘅堂課,就係用自己方法 — 文字解說、流程圖、舉實例乜都得,指出呢兩個方法點用、分別喺邊,落堂前交!寫完呢樣先做堂課呀!」

* P.S. 承蒙讀者指正 — 任何(實)數嘅二次方,應該寫「非負數」而非正數。

這是我在此行文的疏忽,必須更正。當時教書,我代 n = 1,然後說這肯定是正數了,因為見到「二次方」,總不會負數。我在行文中稍為修改說法,覺得這樣寫可以更突出「代甚麼數也好,見到二次方就不用再細想」,結果忽略了代 n = 2 出零的情况。

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