立場新聞 Stand News

教學的空間(十二)數學篇:求真

2020/8/27 — 22:58

資料圖片,來源:Freepik

資料圖片,來源:Freepik

【文:霍梓楠 @ 教育工作關注組】

同學學數時經常很困惑:為甚麼有「神人」可以輕而易舉處理變化多端的題型?

他們很多時只是著眼是否成功做到不同種類的題型,但忽略了題型背後的概念理解以及概念間的關係。不過,當要求他們搞清楚那些概念的時候,卻又說「呢啲唔會考」,只希望把所有題型背好,覺得這就是「捷徑」。

廣告

以下是三個相關例子:

學習演繹幾何(Deductive Geometry)不容馬虎

廣告

學習演繹幾何的關鍵,既要知道運用某個定理時應得知甚麼條件(condition)才可以作出其定論 (conclusion),也要明白這個定理的證明。

不過,有些同學都好懶,不認真去想清楚定理的條件與定論,只要看上去「似乎啱用」就求其寫類似的定理解釋其步驟。

● 最易混亂的是 base. ∠s , isos. △ 及 side opp. eq. ∠s。請搞清楚邏輯

base. ∠s, isos. △
If it is an isosceles triangle, the two base angles are equal.
因為已經知道那是等腰三角形 isos. △,所以就知道那兩隻底角 base. ∠s 有甚麼特別(一樣大)

side opp. eq. ∠s
If two base angles of a triangle are equal, then the sides opposite to these two angles are equal.
因為已經知道那兩隻底角 eq. ∠s 是一樣大所以就知道那兩隻底角對面的兩條腰 side opp. 有甚麼特別(一樣長)

● 另一個容易混亂的是與平行線有關的定理,例如 int. ∠s, QP // ST 及 int. ∠s supp. 的分別。他們做題目時,一見到一對同旁內角(interior angles)就「兩者任擇其一」,當我指出其邏輯錯誤時,他們有時還會反唇相譏:「識做咪得囉!」

我通常都會認真回應:「『因為平行線所以一對同旁內角相加係 180 度』,以及『因為一對同旁內角相加係 180 度所以嗰對直線係平行線』,望落去好似係同一回事,其實並唔係㗎!你睇下呢啲例子:

  • 你阿媽係女人,不過唔係所有女人都係你阿媽。
  • 所有長方形都係平行四邊形,不過唔係所有平行四邊形都係長方形。

你哋都識笑啦!A→B,並唔保證 B→A,要經過嚴謹證明先可以確定到雙向都啱。的確,你哋喺呢個程度,好多時 A→B 同 B→A 都啱(就如上文提到的兩個關於等腰三角形的定理,又例如畢氏定理與逆畢氏定理),但係要小心分辨何時用邊個理由。

如果唔建立有邏輯嘅思考習慣,你好容易畀人呃;又或者你用自以為好有邏輯嘅講法說服其他人,亦都係好危險嘅事。我好希望你哋理解,我點解喺呢啲位咁堅持。的確,你就算寫錯咗理由不過搵啱角度都會有分,不過呢個唔係分數嘅問題,而係態度嘅問題。」

求真精神包括對公式的理解

曾經我問一位同學:你可以講解甚麼是指數律(law of indices)嗎?他一臉茫然,說:「你都冇俾條題目我做,我點講?」

「吓?一定要我俾條題目,你先可以講解到咩?」

「咁我盡量啦……例如 x 二次方乘 x 三次方係就係 x 六次方……吖唔係,係五次方。」

「點解你第一時間諗起嘅係六唔係五?」

「我一時唔記得咗啫……」

「我明吖!你個腦見到個乘號,咪即刻諗二乘三囉!不過……如果你真係理解咗指數律嘅意思,就唔會諗二乘三。記唔記得我講過……」

我幾乎肯定他無視我在課堂上一再強調的這番話:「嗱!書入面嗰幾條指數律其實一啲都唔神秘,背後核心嘅概念,只係將你小學學過嘅分數相乘約簡做個總結咋!而家複雜咗,只係因為你哋開始習慣處理變數,而唔係好似小學咁主要係玩實際數字。」

我不介意同學初學時先背誦公式(想當年我也是這樣學習),不過當同學已經開始掌握到基本運用技巧的話,請不要滿足於此 — 你們是有能力去理解公式的合理性、與其他已學會知識的關係。當你習慣了這樣做,就不用經常擔心忘記公式,因為你可以從透過正確概念驗證記憶中的公式是否真確,甚至以其他方法推導出你已忘記的公式。

我不希望學生只記得公式定理卻不明所以。這不僅影響他的數學學習,也影響他將來處理新學知識的態度。所謂求真態度,並不限於分辨真假事實,更要慣於存疑、嘗試了解來龍去脈。

改變問法 讓學生發現操練盲點

今學年停課期間要教中二學生三角比(trigonometric ratio),其實挑戰極大。授課時間縮短,我又不想初中就「補課」,所以實時網上教學的內容要有所取捨。我減少了正常上課時會講、與考試題型無甚關係的內容,但以 study guide 形式讓他們自行閱讀。理想的話當然是培養到自學習慣,不過他們面對這看似 optional 的部份,自行跳過也是人之常情吧!

我雖然理解他們,但不代表會就此「放過」他們。復課後還有兩星期才大考,我早於復課前已聲明:

「我已安排咗密集測驗係復課時招呼你哋,會 cover 停課期間學過嘅嘢,不過並唔係用嚟同你哋溫習基礎知識 — 呢段停課你哋已做咗唔少功課,我應該要對你哋有點信心啦!所以,你哋如果驚有基本嘢唔記得,就好好自己復課前溫習番!唔好以為復課後果兩星期可以靠我幫你速成呀!

不過如此同時,我又對你哋融會貫通以及體會融會貫通嘅重要性冇乜信心,所以啲密集測驗係非典型嘅!你哋到時就知啦,保證新奇、好玩、刺激!你哋可以點樣預備?總之你溫好咗基本嘢先啦!」

這是其中一條題目:

  1. 解釋 cos 30° 的意思。
  2. 解釋為甚麼 cos 30° 可以應用於全部其中一隻內角是 30° 的直角三角形。提示:你可以從中一學的平面圖形變換(transformation)以及最近學的「相似三角形」知識入手。

其實我已在 study guide 解釋過,不過還有不少同學完全「唔知我想問乜」。這一切當然在我掌握之中……

「係咪覺得搞清楚呢啲嘢冇乜意義呢?識篤機、記得 cosine sine tangent ratios 係邊條邊除邊條邊,點用 identities 簡化咪得囉!不過你哋係做功課嗰時,唔會好奇點解啲 trigo ratio 可以用喺唔同大細嘅 right-angled triangles 咩?咁如果唔係 right-angled triangle 呢?對於呢啲三角形,可唔可以都有呢類 ratio?另外,你哋唔會覺得堆 trigo identities 好易記錯,好想透過知道點解去避免記錯咩?

仲記得上學期我點樣同你哋引入 measurement error,解釋 law of indices,用圖像證明 perfect square identities,探索 equations of straight lines 等等嗎?我仲以為你哋已經知道理解嘅重要性啦,諗住用文字寫低畀你哋睇就夠啦!

我喺呢兩個星期,主要提醒你忽略咗啲乜,同埋點樣用一個大啲嘅 picture 去理解所學同埋睇穿習題嘅題型。我知有啲同學有追開我啲 study guides,就會覺得份小測冇乜特別,咁我唔介意你做完份測驗就攞本數學書出嚟做其他數。」


教師有沒有空間留意學生的學習習慣,然後用各種具說服力、學生接受的方法,再屢「敗」屢試,使他們願意認真檢視、理解所學東西是否合邏輯、價值、局限……這些與求真精神相關的態度?

就算教師沒有時間創造特別時機,其實也可從日常講解、改功課小測,對改正的要求、班級經營與管理等等,讓學生感受到求真的方法、困難、限制與好處。這種實行身教的空間,我確信是不可能被任何人剝奪的。

發表意見