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數學的浪漫 – 上

2020/8/5 — 15:24

Photo by wu yi on Unsplash

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引言

根據牛津英語字典,「romance」一詞未必指向愛情。它亦可解作:

a feeling or sense of wonder, mystery, and remoteness from everyday life (譯:驚奇的、神秘的、和遠離日常生活的感覺

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以下,我想向你呈現數學在這種意義上的浪漫

這任務無疑十分艱難,因為大眾通常認為數學枯橾乏味、艱澀難懂。而這印象,多半基於學生時代對數學功課和考試的痛苦回憶。數學和浪漫,看似風馬牛不相及。

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但奇怪是縱觀世界各地,在大學裡總有一批數學系教授和學生,全心全意投入數學。他們之所以如此,絕非為賺錢,而是由衷覺得數學很有趣、很美。數學的魅力簡直無遠弗屆

不同人對數學的觀感為何會有如此落差?部分原因,是天分:天分高者,從小對數學駕輕就熟,自然容易樂在其中。求學時的經歷,或許也有關:有些人幸得良師指點,因而熱衷數學。然而,我認為有一個更主要的外在因素:就是對於「甚麼是數學」的認知。

單刀直入,如果你至今接觸數學的渠道只限於傳統的數學課,那請先拋棄對數學的固有印象。中小學所教的,絕大多只是「計算」。解方程式、計面積體積、排列組合、或 sin cos tan 之類,盡是計算。但事實上,計算只是數學世界一個極狹窄的側面。所以大部分人所接受的數學教育只有如坐井觀天。再者,計算的步驟複雜繁瑣,題目又丟鑽,覺得枯燥乏味實在是人之常情。

假如你向來對數學心存芥蒂,希望以上解釋能令你稍為放開戒備。

好,既然「計算」不算數,那究竟甚麼是真正數學?這問題浩瀚無垠,不易解釋,需慢慢來。本文分為甲乙丙三大部分:

  • 甲部簡述數學的範疇,勾畫出粗略框架。
  • 乙部正文,細分第 1 至 5 部份,天南地北地寫數學,為你逐漸建構對「真正數學」的印象。而每一部分,將各圍繞一點數學的浪漫。
  • 丙部總結

正式開始前還需補充三點。

第一,本文目標對象是一般大眾,所以預備知識方面,你僅需具備自中學時期殘留對數學的依稀印象。然而正因如此,對於熟悉數學的同道中人,本文囉囉嗦嗦所言皆是老生常談,或是大家心照不宣對數學的普遍描述;請勿見怪。

第二,本文將較為客觀地談數學的浪漫。讀畢後你是否喜歡數學,還要視乎各人口味,因為「喜歡」是主觀的。正如李白的詩是狂放,畢加索的畫是抽象,都是客觀描述。你喜不喜歡,則適隨尊便。

第三,筆者僅是一名正修讀數學的博士生,對數學的領會定然未算十分深刻。我只能盡力而為,寫下這刻我對數學的理解和感受。

甲、數學的各範疇

首先簡介數學的各範疇。

數論 (Number theory):始於過二千年前,是最古老的數學分支之一,起源於研究數目字(即 1, 2, 3, 4, 5, … )的特質。我們從小學開始學的:公因數、最小公倍數、整除性、質數等,皆屬於數論。

幾何 (Geometry):始於過二千年前,同樣是最古老的分支之一,起源於研究圖形、立體、長度面積體積。畢氏定理、三角函數 sin cos tan、圓周率 π 等,皆屬幾何學。

代數 (Algebra):始於過二千年前,同樣是古老。最初是圍繞解方程式。我們中學所接觸的方程組
x + y = 17
2x – y = 7
或二次方程 z² – 10z + 24 = 0 等,皆屬於代數領域。

分析 (Analysis):始於十七世紀,其起源是牛頓創造微積分。而往後在十八、十九世紀,數學家逐漸將「無限」、「極限」等概念嚴格地定義,並為牛頓的微積分補上堅實的理論基礎。

集合論和邏輯 (Set theory and logic):始於十九世紀。現代數學以其嚴謹的邏輯著稱,因此邏輯學可謂數學的基石。而最基礎的邏輯學其實始於常識。

拓撲 (Topology):始於十九世紀。大眾對這個比較陌生。其中一類易懂的拓撲學問題是將繩結(knot)分類。例如問:以下兩個繩結是否一樣?即是問,可否不剪斷繩子,而將第一個結變成第二個結?(答案:否)

其他:現代數學的分支繁多,難以簡單地全面分類。不在上列的還有組合論 (combinatorics)、圖論 (graph theory)、概率論 (probability theory)、博弈論(game theory) 等等。

以上只是非常模糊的分類,實際上不同的數學範疇之間充滿錯縱複雜的關連,沒有清晰邊界。例如,我們有代數拓撲 (algebraic topology)、微分幾何 (differential geometry) 、幾何分析 (geometric analysis) 等跨領域的分支。

乙、正文

我將分以下五部分談數學。

  1. 跨越時空,歷久常新:數學的真確性 (*)
  2. 千年巨業:數學知識的存在形式(**)
  3. 孤高獨立:數學之抽象(***)
  4. 宇宙的語言:數學的應用(*)
  5. 渾然天成,深不見底:數學之邏輯性(***)

*號愈多,內容愈難。而在每一部分,我也將扣緊文題「數學的浪漫」。記得,你所預期的浪漫應是 「a feeling or sense of wonder, mystery, and remoteness from everyday life」。

1. 跨越時空,歷久常新:數學的真確性

1.1. 跨越時空

讓我從一個具體例子談起。大家在中學肯定學過以下定理。

定理(1) 畢氏定理

對於所有直角三角形,假設 a 是直邊長度,b 是橫邊長度,c 是斜邊長度。那麼 a² + b² = c²。

例如當 a = 3 厘米,b = 4 厘米,那麼由畢氏定理可知
c² = 3² + 4² = 25
所以 c = 5 厘米。這應該不難理解。

畢氏定理是以公元前五世紀在古希臘的畢氏學派命名,並被記載在 Euclid(歐幾里德)的《幾何原本》中。但依我看來,這功勞大概不應由畢氏獨攬。因為同一時期,在公元前三世紀的西漢末年,《周髀算經》成書,當中便記述了前人以解 a² + b² = c² 的方法來求得直角三角形邊長。引錄原文:

若求邪至日者,以日下為勾,日高為股,勾股各自乘,并而開方除之,得邪至日。

這段字,你讀起來可能半懂不懂。但其實只要串合「自乘」、「并之」、「開方」等詞,它正正是 a² + b² = c²。

希臘和中國,這兩個分別位於歐亞大陸東西兩端的古老國度,文化有天壤之別。在那通訊隔絕的時代,兩邊竟然不約而同都有人獨力發展出這幾何學的奠基定理,可見數學知識在古代已跨越地域界限。

1.2. 歷久常新

此外,數學知識更能跨愈古今界限。原因是,一旦某數學定理被證明為真,它便從始為真,永不改變。所以不出所料,創於二千年前的畢氏定理,時至今日,仍舊寫在每本基礎幾何學的書中。不單如此,那本《幾何原本》裡每一道幾何定理,只要是附上了嚴格證明,便必然至今仍正確無誤。

這是數學的獨特性:其絕對真確性讓其他科學或人文學科望塵莫及。舉例,在古希臘時代,流行 Ptolemy 的「地心說」。地心說認為,宇宙萬物(包括太陽、太陽系的行星、和其他所有恒星等)皆以地球為中心,圍繞運動。此外,還流行 Plato 的「四元素說」。他認為,世間一切物質皆由火、水、土、氣四種元素構成。

這兩個理論在今天看來當然錯得離譜。但在那缺乏科學觀測技術的年代,古希臘的哲學家嘗試直觀地解釋眼前所見的自然現象,實在是無可厚非。事實上,「地球圍繞太陽公轉」的說法是到十七世紀伽利略以後才被廣泛承認,「日心說」終於取代「地心說」。而所謂的四元素,則隨著真正的元素(如氧氮氧金銀銅等)被發現而褪去。在十九世紀,現代的「元素周期表」終於誕生。

由此可見,古代的天文學化學理論均已在科學進步中被淘汰,更遑論古代醫學、心理學、生物學等了。反觀我們的畢氏定理,不管世界在這二千年間翻天覆地的劇變,仍能乞立不倒。而 Euclid 那十三冊幾何原本,經歷無數前人的試練,依舊在基礎幾何學中堅守一席位。如此看來,無堅不摧的數學實在分外可貴。

這第 1 部分拋磚引玉,帶出一個問題:數學為甚麼能跨越時空,永恆為真?

為解答這疑問,我將用第 2 部分作舖墊,解釋人類文明累積了二千年的數學知識,是以甚麼形式存在。完滿的解答將在第 5 部分。

第 1 部分小結:數學知識的真確性跨越時間和空間。

2. 千年巨業:數學知識的存在形式

數學有三個重要組成部分:定義、證明、和定理。首先要定義一些數學概念,然後進行嚴謹的證明,從而獲得數學定理。

2.1. 數學概念的定義

讓我舉一例。以下是一個定理

定理(2) 任何一個單數,乘以另一個單數,結果一定是單數。

例如 3 和 5 是單數,所以 3×5,等於 15,也是單數。這是一個簡單的數論定理。但首先,我們必須釐清相關定義:例如甚麼是「單數」?甚麼是「乘以」?

你或許想:多餘!這也要問?其實,我想展示的,是數學的精神:所有概念都必須毫不含糊,賦予準確定義。否則,建基於此的推論便會隨之變得脆弱、邏輯不清。數學講求嚴謹,因此粗疏的定義和論證皆是致命傷。

回想起我讀大學本科時,學校規定要修幾門通識課。當時我選了一個關於印度經典文學的。有次堂上討論,教授不停提到「梵」這概念,而閱讀文本裡也頻頻出現「梵」。講到中途忽有一個同學發問:「究竟『梵』是甚麼?」教授頓一頓,笑笑口答:「啊⋯⋯這個不好說,不好說⋯⋯」他之後雖有補充幾句,但始終沒有清晰回答。不用說,我也是聽得迷迷糊糊。

我舉這例並非要貶低其他學科,而是要帶出數學定義絕不會這般含混。

回到單數的定義。其實這只是小學數學。

定義 (3) 單數

單數,就是不能被 2 除盡的整數。例如 1, 3, 5, 7, … 等

留意重要一點:定義 (3) 牽涉「整數」和「除盡」兩概念。因此,我們可繼續追問這兩者的定義。甚麼是「整數」?甚麼是「除盡」?這是數學另一大特徵:數學幾乎所有的定義、證明、定理,都是層層疊疊,一個建基於一個的。換句話,面對每一個數學定義,我們都必能溯源追流,由淺入深理解其意義。譬如,就「除盡」一詞,它的意義建基於「除法」,「除法」又建基於「乘法」,「乘法」又建於「加法」。

為了更傳神地說明此現象,我上維基百科選了一個名詞:「黎曼流形」。這是微分幾何學的概念,大概屬於研究院程度。我逐字逐句從維基百科複製,以下是其定義:

定義(4) 黎曼流形

黎曼流形是一個微分流形,其中每點 p 的切空間都定義了點積,而且其數值隨 p 平滑地改變。

現在清楚何謂黎曼流形了吧?

你肯定茫無頭緒,因為你跟本不知道何謂「微分流形」、「切空間」、「點積」等。但維基百科的優點,是當讀者看見語意不明的詞語,可以點擊這些詞查看其意思。甚至可繼而逐頁深究下去,打破沙盆問到篤。我們一於放膽一試吧!不過放心,以下這一連串定義感受一下即可絕不需細讀。例如,點擊「微分流形」,便出現以下定義:

定義(5) 微分流形

光滑流形,或稱 C-微分流形、C-可微流形,是指一個被賦予了光滑結構的拓撲流形

仍然不懂。何謂「光滑結構」和「拓撲流形」?點進後者一看:

定義(6) 拓撲流形

 M 是豪斯多夫空間,若對任意一點 x ∈ M,都有 x 在 M 中的一個鄰域 U 同胚 m 維歐幾里得空間 ℝm 的一個開集,就稱 M 是一個 m 維流形或 m 維拓撲流形。

嘩,甚麼來的。硬著頭皮,隨便選個「歐幾里得空間」按進去:

定義(7) 歐幾里得空間

以 ℝn 表示實數域。對任意一個正整數 n,實數的 n元組的全體構成了 ℝ 上的一個 向量空間,用 ℝn 來表示。至於歐幾里得空間,則是在 ℝn 上再添加一些內容:歐幾里得結構。

不如再按「實數體」看看?

定義(8) 實數

實數可以用通過收斂於一個唯一實數的十進制或二進制展開如 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, … 所定義的序列的方式而構造為有理數的補全。實數可以不同方式從有理數構造出來。

開始有些熟悉了。它提到所有小數,如3、3.1、3.14等等都屬於實數。不如繼續按下去,看看何謂「有理數」?

定義(9) 有理數

數學上可以將有理數定義為建立在整數有序對上(ab)的等價類,這裏bd不為零。我們可以對這些有序對定義加法和乘法,規則如下:
(ab) + (cd) = (ad + bcbd)
(ab) × (cd) = (acbd)

為了使 2/4 = 1/2,定義等價關係 ~ 如下:(ab) ~ (cd) 當且僅當 ad = bc

這種等價關係與上述定義的加法和乘法上是一致的,而且可以將 ℚ 定義為整數有序對關於等價關係 ~ 的商集:ℚ = ℤ × (ℤ – {0})/ ~。例如:兩個對 (ab) 和 (cd) 是相同的,如果它們滿足上述等式。

好複雜。咦?有沒有發現,在第一句又提到「整數」了,是跟我們定義 (3) 中一樣的名詞!而且當中也出現了「加法」「乘法」等詞。由此可見,簡單如「單數」,複雜如「黎曼流形」,其定義都是從最基礎的概念構築而成:例如「整數」,「加法」,「乘法」等。

頭暈轉向地兜了個大圈,我希望你至少看清:數學很難,其中一個難點,是其高深複雜的定義。回顧剛才一例,由「黎曼流形」向下追溯至「整數」,一共經過六層的定義。而且他們不是「一個建基於一個」的關係,而是「一個建基於幾個」。粗略估算,如果每層下面是由兩個定義承托,那總共已經有2×2×2×2×2×2個,即是64個定義了。再者,對於讀數學的人,只是「知道」一堆定義是遠不足夠:我們更要「理解」這些定義的深意。因此學習數學是極費時間的。普林斯頓大學數學家 Jacob Lurie 有以下生動的描述:

Mathematics is a giant playground filled with all kinds of toys that the human mind can play with, but many of these toys have very long operating manuals.

https://youtu.be/ZMG3hS4udvs

所謂「very long operating manual」,就是說理解現代數學,需要海量預備知識。當中便包括要掌握相當部分的數學術語。

順帶一提,雖然「整數」「加法」「乘法」這些概念大部分人都瞭如指掌,但他們的嚴格定義牽涉一些技術性的細節,實在不好解釋。所以我將不再周旋下去,關於數學定義的討論到此為止。

2.2. 數學定理

或許有人會質疑:這般架牀疊屋,無中生有地定義了一大堆數學概念,豈不是天下本無事 ,庸人自擾之?其實不然,因為定義只是第一步。這有如我們最初學英文時,必須先熟習一些詞彙的定義,繼而以之編寫有意思的句子。數學亦如此。某程度上,數學也是一種語言。定義的存在,是為了寫下數學定理及其證明。

何謂數學定理?簡言之,就是有關數學概念的命題。舉例,還記得以下定理?

定理(2) 任何一個單數,乘以另一個單數,結果一定是單數。

它陳述了一個單數和乘法之間的簡單關係。

以下是另一定理:

定理(10) 任意一個單連通和封閉的三維拓撲流形,都與三維球面同胚。

它陳述甚麼,你肯定不明所以,因為你不懂當中的術語。不過細心的讀者會發現,「拓撲流形」一詞其實已曾出現於定義 (7),並非常人能理解。而不出所料,「單連通」、「封閉」和「同胚」等詞的定義都各有千秋:大約是大學數學三四年級的內容。而定理 (10) 則在說這些定義間的一個關係。

2.3. 數學證明

數學定理皆是命題,正如定理 (2。是一道命題。但要確認它為正確,便需靠嚴格的數學證明

何謂「證明」,因學科而異。舉例,法律上證明某人有罪,需要人證物證動機等。歷史學上的證明,要翻查古籍文獻或實地考察。天文學的證明,則常透過望遠鏡觀測天體,配合電腦模型分析數據。數學證明,則純粹依靠邏輯推論。

何謂純粹的邏輯論證?其確切意思我將在第 5 部分解釋。這刻為免紙上談兵,我應從一個具體例子著手說明。我因而寫了一個對定理 (2) 的證明,在附錄一,感興趣的讀者可去瞧瞧。

跟數學定義一樣,數學的定理和其證明都是一層一層建築而成。記得我中學老師曾說:讀數學跟讀歷史不同。比如這陣子你讀唐朝歷史。讀不熟,人物關係記不清,沒關係,下星期讀宋朝重新開始。但數學不同,是要累積的。加法學不好,便不能學乘法;平面幾何學不好,便不能學立體幾何。

容我說得更直白點:假如你看不明白附錄一中對定理 (2) 的證明,很可能是因為不諳代數運算規則。譬如,該證明用上以下定理。

定理(11) 乘法分配性質

對於任何整數 x z,都有 (x + y)z = xz + yz

如果你不知道這定理,自然看不懂定理 (2) 的證明。換言之,定理 (2) 是建基於定理 (11) 的。這吻合數學知識的普遍特徵。下至中小學,上至大學研究院,以至現代數學的疆域,皆如此:數學知識是層層遞進,由基礎逐步建築而成的。尤記得。2.1 部分我們挑選了「黎曼流形」一詞,然後剖心掏肺地翻起它之下一連串的定義。數學定理的情況如出一徹:證明一個高等數學定理往往需引用幾十甚至上百個「較低層」的定理,而這些定理的證明又各自建於「更低層」定理。就如一棵百年古樹的老根向地㡳蔓延,結出無比複雜的網絡。若以蠻力夾生連根拔起,則可一睹底下無數分支。

不過順帶一提,嚴格來說這比喻不盡貼切。因為當針對一個數學定理查根究底,將不會如樹根般愈往下愈鬆散並最後中斷,反而將被導向一塊堅實的基石:那是甲部曾述的集合論和邏輯學。(這將在第 5 部分詳述)

題外話,「層層堆疊」這特色,普遍適用於數學和科學知識;相反,人文學科的知識則較小符合此特徵。以藝術為例,古往今來的藝術家的成就,都是能夠獨自成立的。你極其量只能說某人對後世作品的風格有間接影響,但絕不存在後者建立於前者的從屬關係。在藝術館看油畫,沒規定要順序先看文藝復興時期的,再看浪漫主義的,然後看印象派的,最後看現代的。我甚至敢斷言:即使將十七八世紀的油畫一舉抹去,十九世紀梵高、莫奈的畫將依舊驚艷,受世人青睞。反觀,假若將十九世紀的數學全部抹殺,那二十世紀的數學將淪為空中樓閣,不知如何解讀。

總言之,一個數學定理之所以成立,是因為有一個嚴格的證明。數學證明必須嚴格無誤,有根有據。它們往往環環相扣,層層疊疊。當有任何定義、概念、定理寫得含混不清,模稜兩可,便有損論證的嚴謹性。只要有一步失去邏輯性,牽一髮動全身,建基於之上的其定理和證明便隨之而土崩瓦解。這好比一道複雜的算式,只要計錯一步,答案便錯。

2.4. 千年巨業

讀到此處,你應該對數學知識的存在形式有初步概念吧?數學,實是一座千年巨業。它是由無數前人,花上千年光陰,竭盡心血勞力精神時間而興建的宏偉知識寶庫。當然,所謂數學成就也有重要性之分。在歷史洪流中留名的偉大數學家,會開山劈石創造新的數學領域,或以深刻洞見揭示不同領域之間前所未知的關聯,或埋頭苦幹醉心解決百年難題,或大膽提出猜想以引領未來的研究方向。他們留下的重要貢獻後人都要拜讀。名垂千古的巨人無疑只是少數。但前仆後繼,竭力為這座千年巨業添上一磚一瓦的,卻是跨時空跨國界的全體數學研究者。

順帶一提,何謂「偉大數學家」當然沒有唯一標準。但其中一個標準,是有數學諾貝爾獎之稱的數學界最高殊榮:菲爾斯獎 (Fields Medal)。此獎項每四年一度,每次頒予四人左右,獲獎者須不逾四十歲。菲爾斯獎得主,全是數學界超新星,於近年證明出震撼性的定理。得此獎,則注定名留青史。下文我們將屢次提及菲爾斯奬得主的事跡。

回正題。

數學,是無數前人的心血結晶。更甚者,這一代又一代人的奮鬥,絕不是漫無目的;這座累積了千年的數學知識寶庫,也絕非隨機雜亂,零零散散地堆積而成的。反之,數學發展往往是有跡可尋的。今人的成就,既承接前人的成果,也開創後人的研究方向。舉個例:一個數學家提出了一個引人入勝的難題,讓當時其他數學家苦苦思量,卻都束手無策。幾年後,有人想到一個新意念,以一個嶄新角度,在這難題上攻出一個缺口。但距離目標還很遙遠。然後沉寂幾年,或十幾年,又突然有人發表新結果,讓人們又向目標邁進一步。就是這般,寸步難行,兜兜轉轉的,經過不斷嘗試、失敗、和偶爾的突破,數學家們逐漸靠向目標。直至一天,某個數學家揉合前人的成果,寫下神來之筆,將最後一道難關衝破:難題完滿解決。結果,一個數學難題,耗上幾代數學家的苦幹,歷時數十甚至上百年,終於塵埃落定。

花一百年做一件事。真的,如此浩大的成就在數學史上屢見不鮮。作為例證,以下是三個跨越世紀的經典難題。

古希臘三大數學難題之一,化圓為方問題:它是由古希臘數學家,於超過二千年前提出。在1882年,才被德國數學家 von Lindemann 解決。

費馬大定理:它是由法國數學家 Fermat 在1637年提出,並由英國數學家 Wiles 在 1994 年解決,歷時358年。順帶一提,Wiles 的證明長達109頁。

第三個難題的故事我以下將稍加解說。

龐加萊猜想:它是由偉大法國數學家 Poincaré 在1905年提出。Poincaré 當時有一個想法,並有不少旁敲側擊的證據,讓他相信這想法是正確的。他嘗試嚴格地證明它,卻始終失敗,因此這想法當時只算是一個「猜想」,而未算是「定理」。換言之,沒有人能百分百肯定,該想法正確與否。他因而向數學界拋出了這個難題:龐加萊猜想,讓其他數學家嘗試證明。

猜想 (12) 龐加萊猜想

任意一個單連通和封閉的三維拓撲流形,都與三維球面同胚。

這是否似曾相識?其實這完完全全是上文的定理 (10)。你可能疑惑,這不是「猜想」嗎,怎麼又變成「定理」了?沒錯,它一直只是個猜想,直至 2003 年。當年,俄國數學家 Perelman 發表了三篇論文,宣稱證明了龐加萊猜想。之後三年,進行同行評審 (peer review),由該領域的專家細閲這些論文,以檢查其正確性。2006 年,評審完畢,Perelman 是正確的。解決了世紀難題,他名聲大噪,並贏得了菲爾斯獎,及一百萬美元獎金。然而,Perelman 最終竟將兩者都拒絕,更自此從數學界隱退。他對學問徹底純粹的追求,堪稱傳奇。

化圓為方、費馬大定理、龐加萊猜想,誰提出,誰解決,我如此輕描淡寫。但請別誤會,這些經典難題的故事,絕不只圍繞一兩個數學家。就龐加萊猜想為例,在二十世紀,有無數人勇敢向它挑戰,卻空手而回。亦不時有人宣稱自己成功了,但其論文在同行評審階段卻被指出錯誤:此情況多不勝數。反之,亦有多個數學家在龐加萊猜想取得關鍵進展,或解決了其他相關的重要問題:

  • 1961 年,美國數學家 Smale 證明了,如果把龐加萊猜想中「三維球面」一詞換成「五維球面」、「六維球面」、或更高維球面,則猜想是正確的。他因此獲得菲爾斯奬。
  • 1981 年,美國數學家 Hamilton 發明了黎奇流 (Ricci flow) 技術。往後 Perelman 的證明方法,正是黎奇流。
  • 1982 年,美國數學家 Freedman 證明了,如果把龐加萊猜想中「三維球面」換成「四維球面」,則猜想是正確的。他亦因此獲得菲爾斯奬。
  • 1982 年,美國數學家 Thurston 提出了幾何化猜想 (Geometrization Conjecture)。這是一個極廣泛的猜想:它將龐加萊猜想吸收了,將之變成其中一個小 case。他亦因此獲得菲爾斯奬。

一個猜想,孕育了四個菲爾斯奬。龐加萊猜想最終成為定理,實是一整世紀數學家努力的成果。

第 2 部分小結:數學知識是以定義、定理、證明的形式存在。無數前人的奮鬥,建成了今日龐大的數學知識庫。

3. 孤高獨立:數學之抽象

假如這刻從宇宙深處射來一束超強伽傌射線,瞬間摧毀地球,不留痕跡,所有生命灰飛煙滅。那麼,人類有哪些知識或學問還有價值?

我想,一眾人文學科首當其衝。藝術、文學、音樂,依賴人類的審美觀、文化背景、生理或心理條件。人類滅亡,它們再無人欣賞,頓時失去意義。至於歷史學或語言學等,是以人為本;沒了人類,便同樣沒用了。此外,所有經濟學和社會學理論無人問津,失去用途,所以價值歸零。科學方面,醫學和生物學專門研究地球生命,也可一概作廢。就算退十步而論,假想在宇宙某角落有外星人,他們的生活模式、生態系統和進化條件都肯定大異於地球人:我們的經濟社會生物學醫學,他們用不著。

那究竟有甚麼知識可以留下?化學和物理學,則較有希望。這是因為根據天文觀測,化學和物理法則是全宇宙通用的。舉例,在地球上,生鏽的鐵是啡紅色的;而同樣,覆蓋火星表面的鐵礦,也是啡紅色的。又例如在地球上,一塊從高處落下的大石在墜地時,會根據牛頓第三定律而破裂,碎片四濺;同理,兩個遙遠的星球相撞,其碎片亦會各自飛彈。推而廣之,即使地球慘遭毀滅,我們的元素周期表、牛頓運動定律、萬有引力等化學和物理學理論,將繼續正確無誤地描述宇宙間的現象。故此,化學和物理的知識,將依舊存有價值。(以下圖片來源在附錄四)

除此之外還剩甚麼?是數學。我斷言,就算地球所有生命毁滅,甚至連太陽系、銀河系也化為烏有,人們對於數學定義、定理和證明的知識,將仍舊有價,毫不失色。

為什麼?簡單答案:例如,「5 × 12 = 60」這事實,無論如何,都是正確且有意義的。

你可能不服:既然一切都沒了,算式也沒有用途了,那數學還有何用呢?要詳細回答,便得首先知道:數學的研究對象是甚麼?以及它有何特點,以致地球毀滅也傷它不了?這便是第 3 和第 5 部分的主題

開始前先強調一點:之前第 2 部分是描寫數學知識的存在形式,而不是數學的研究對象本身。如果只讀第 2 部分,你可能認為數學就是研究一堆就無中生有、虛無縹緲的東西。事實並非如此!定義、定理、證明,寫出來往往隱悔又難懂。但這只是表面,它背後所代表的事物、意念、現象才是數學的精髓所在。那具體是甚麼,現在開始談。

3.1. FORMAL PATTERNS

數學是研究甚麼?這問題太闊了,沒有標準答案。1982 年菲爾斯獎得主 Thurston 曾試用一句話概括數學:

the theory of formal patterns

Thurston, On Proof and Progress in Mathematics

既是出自數學權威,自然有其道理。故此第 3 部分整個討論將執著於這句話,解釋數學是研究甚麼,從而理解當中的浪漫。這句話牽涉三個詞,由淺入深是 theory、patterns、和 formal。

Theory,即是理論。其意義明顯直接,沒甚麼好說。

Pattern,就是模式、樣式、有規律的現象。舉例,

  • 化學方面:「鐵礦都是啡紅色的」,是一個在由美國大峽谷以至火星表面都出現的 pattern。
  • 物理方面:「兩個物體相撞破裂後碎片會四散」,是由地面山泥傾瀉以至宇宙中星體碰撞都出現的 pattern。
  • 數學方面:定理(2) 「任何一個單數,乘以另一個單數,結果一定是單數」,也在描述一個 pattern。其實就算你之前不知道這定理,只要隨手抽幾對單數來相乘,觀察一下,也不難發現這 pattern。例如在以下乘數表,我用紅色標示單數,當中 pattern 顯而易見。

然而,第三個 pattern 屬於數學領域,而第一二個卻不是。為什麼?根據 Thurston,那是因為第三個 pattern 是 formal 的,而首兩個則不是 formal。說了半天,究竟 formal 是甚麼意思?

Formal 的意思,不好說⋯⋯這詞有多種歧意,且它僅是日常英語用詞,而非嚴格的數學名詞。我又翻查牛津英漢字典,相關的解釋應是

logic, free from the descriptive content that would restrict it to any particular subject matter(譯:邏輯的,獨立於「將之局限於任何特定事物的『它所描述的事物』」的)

這解釋讀起來不明所以。但如果結合我對數學的認知,我會將 formal 一詞演繹為兩點:

  • 與邏輯相關的
  • 抽象的,脫離現實生活的

一般人會想:即係點啫?

故此,我在 3.2 – 3.4 部分將透過多個例子,深入說明 formal pattern「抽象的,脫離現實生活的」這特色。而另一特色「與邏輯相關的」則會在第 5 部分說明。我希望由此解釋數學研究甚麼。

3.2. 完美平面世界中的畢氏定理

定理 (1) 畢氏定理,也在描述一個pattern。它說任何直角三角形,不論大小、高矮、長短、不論是畫在哪裡,怎樣畫,打橫打棟打斜,只要是畫在平面上,a² + b² = c² 便一定成立。

然而,魔鬼在細節。

嚴格來說,畢氏定理的真正函意是:

定理(1) 畢氏定理:對於一個完美的直角三角形,假設絲毫不差地,其直邊長度是 a,橫邊長度是 b,斜邊長度是 c。那麼 a² + b² 將準確地等於 c²。

但現實世界根本沒有完美的直角三角形!假如你拿起紙、筆、直尺、量角器,動手畫一個直角三角形。結果將是,直尺的邊緣透過顯微鏡觀察是有凹凸的,以至你畫的直線不可能百分百筆直。要擺正量角器來畫直角時,我們的視力和手部活動也非絕對精準,所以完美直角也是不可能。再者,任何枱面都不是絕對平面。而用間尺量度邊長 a、b、c 時,所得結果的準確度,又受我們的視力和間尺刻度所限:準確到 0.1mm 已是極限。故此度量也非絲毫不差的。可見,畢氏定理所要求「完美的」、「絲毫不差地」等條件,在現實中根本不可能滿足!既是如此,「a² + b² 將準確地等於 c²」這結論根本無法獲得!

請別誤會,我不是說畢氏定理在現實中沒用:它是超有用的。因為現實中人們畫圖、建屋、測量地形、或觀測天體時,所要求的精準程度皆是夠用即可,根本無需達到百分百。我們不奢求「a² + b² 將準確地等於 c²」,只求「a² + b² 將太約等於 c²」。前題是要清楚每個量度的誤差,知道所謂「大約等於」有多粗略,以保證計算結果的誤差是在安全範圍內,那便可放心使用畢氏定理。

我是說,畢氏定理作為數學定理所描述的 pattern,嚴格來講不是在現實世界,而是某個虛擬的完美世界。該世界存在完美平面、完美直線、完美直角、完美的量度方法。而正是在那裡,才有完美的直角三角形,才有「a² + b² 準確地等於 c²」這個 pattern。故此,畢氏定理作為完美世界的產物,其存在意義自然能倖免於地球的毀滅。

你現在感受到這個 formal pattern 之抽象嗎?可能有讀者覺得我言過其實了,心想:「那所謂的完美世界,其實和現實世界所差無幾啊。對於畢氏定理所描述的 pattern,你硬要冠上 formal pattern 之名,好像小題大做?」

請耐心。畢氏定理只是入門級例子。在第 2 部分我已說明,現代數學知識堆疊得高不見頂。當中絕大部分 pattern 都 formal 得一般人難以想像。我們一步步來吧,怪獸級例子正在 3.4 部分等你。

3.3. 數字世界中的質數

幾何和數論皆是古老的數學分支。剛看過幾何學的畢氏定理,這部分我們轉看一個數論概念:質數。但在此之前,我要先簡介數論研究哪類 pattern。

數學的起源其實不難想像。古人在生活中需談論物件的數量,比較多寡,便發明了數目字,或稱正整數:1, 2, 3, 4, 5 … 然後他們留意到數數目有不同方法,效率各有差異。例如我有 10 塊貝殻,你有 15 塊。要知道貝殼總數,不必麻煩地將全部放在一起從頭再數:加一加便可,10 + 15 = 25。於是古人發明了加法。但慢慢發現加法有時還不夠用。舉例,某個部落有 60 人,每人有 50 塊貝殻,那這部落共有幾多貝殻?人們又發現,不必重複地計 50 + 50 + 50 + …:乘一乘即可,60 × 50 = 3000。於是古人又發明了乘法。由此可見,正整數、加法、乘法這三個概念在人類文明進步中自然而然就誕生了,絕非刻意捏造或太抽象的概念。如果有天外來客探訪地球,而在他們的文明中竟然從未出現加法或乘法,我反而難以置信。加法和乘法實在是那麼渾然天成、無處不在。而數論的研究對象,便是由正整數、加法、和乘法所衍生的 pattern。

有人可能奇怪:「明明說數學是研究抽象的 formal pattern,現在又說加法乘法與生活息息相關,這不是自相矛盾嗎?」非也。的確,現實生活令加法乘法誕生,但由加法乘法所開展的數學,卻往往脫離現實。請看以下例子。

當人們建立了乘法,自然便會好奇地探索一番,尋找有趣 pattern。人們發現,有些數可被分拆成較細數字的相乘,例如

  • 4 = 2 × 2
  • 6 = 2 × 3
  • 8 = 2 × 4 = 2 × 2 × 2
  • 9 = 3 × 3
  • 10 = 2 × 5
  • 12 = 2 × 6 = 3 × 4 = 2 × 2 × 3,等等

其他數,則不能被分拆,例如 2, 3, 5, 7, 11, 13, 等等。

有些數「可分拆」,有些不能,有趣。不如將眼界放遠,看看 1 至 100 之間的數?下圖中我將「可分拆」的數畫掉,「不可分拆的」則以紅色標示。

可見紅色數字零零散散分佈在各處。數學上我們有以下正式名稱:

定義 (13)

不可分拆的數,稱為質數。而且,數學家約定俗成地不把 1 當質數。換言之,上圖紅色的便是質數。

仔細一瞥,除了「2」之外,所有 2、4、6、8、0 字尾的數都非質數,因為它們可被 2 除盡,從而分拆出 2 來。同理,6, 9, 12, 15, … 等 3 的倍數也不是質數,10, 15, 20, 25, … 等 5 的倍數也非質數,如此類推。由此可知,「非質數」有許多許多,共有無限多個。

那反問,質數是有限多還是無限多?從追尋 pattern 角度,我們當然它希望愈多愈好,最好是無限多。否則,只要將這有限個質數全部列出便一目了然,曲終人散,太無聊了。

順便一提,「無限」通常比「有限」精彩。無限,意味當中牽涉的情況或事物多得無法盡錄,相關問題也不能用窮舉解決。即使有台超級電腦從盤古初開運轉到世界末日,也始終無法處理無限個指令。故此,當一個數學問題牽涉無限,人們便須發揮創意探求解法,而不能沒頭沒腦死板地逐個可能性亂試一通。舉例,要證明定理 (2) 「兩個單數相乘,結果一定是單數」,不能把全部單數都相乘一遍(因單數有無限多,乘不完),而要如附錄 1 中的證明般運用邏輯推理。同理,因為直角三角形高矮肥瘦有無限多種形狀,所以定理 (1) 畢氏定理的證明也不是透過窮舉。

希望你現在信服「質數是有限多還是無限多?」是個關鍵問題。事實上,二千多年前已有古希臘數學家思考這問題。公元前 300 年,偉大數學家 Euclid (對,又是他)在其名作《幾何原本》給予解答:

定理 (14) 質數有無限多個。

這定理奠定了往後二千年對質數研究的基礎。原來就在我們眼皮底,那天然單純的加法乘法運算之下,潛藏一個無限的質數世界。定理 (14) 簡直如哥倫布發現新大陸般重要,之不過這次發現是位於抽象的數字世界而非現實世界。從此數學家開始問各式各樣的問題。例如關於質數分佈的 pattern,人們會問:

  • 1 字尾、3 字尾、7 字尾、9 字尾的質數,哪些較常出現?
  • 質數的出現是愈來愈疏嗎?
  • 質數出現的頻率具體地應如何預測?
  • 人們發現有些相差為 2 的「孿生質數」:如 3 和 5、5 和 7、11 和 13、17 和 19、29 和 31、41 和 43、等等。這些孿生質數共有多少對?是否無限多?

數學家對質數的研究在近幾百年從未間斷。當然,人們的知識與日俱增,廿一世紀的數論學家遠比十七世紀的了解質數。但懸疑未解的問題實在太多,時至今日質數仍是極之活躍的研究課題。質數的魅力在於,它是如此簡單——小學生也能理解其定義——卻又擁有極神秘的 pattern,難倒一眾頂尖數學家。舉例,對於以上第四問,數學家猜想「孿生質數是有無限多對的」。而人們透過電腦程式也確實找到許多孿生質數,看似沒完沒了。但正如前述,窮舉解決不了問題,第四問至今仍懸而未解。

這些關於質數的 pattern,不存在於人們日常生活,或真實世界任何角落,也不能被任何人、文化體系、國家機關據為己有。要探索質數,不需攀山涉水,身陷險境,也不必花費百億美元興建大型強子對撞機,或動用哈勃太空望遠鏡觀察遠古宇宙。數學家只需安坐家中,一張紙,一支筆,一杯咖啡,或三三兩兩聚在大學裡的黑板前,討論一番,讓思緒漫游這片數字世界,尋幽探秘。

總之,質數實在是 formal pattern 的典例。

3.4. 高維空間中的幾何形狀

世界有七大建築奇蹟,也有七大數學難題:它們是由 Clay Institute 在 2000 年公佈,被稱為千禧年大獎難題。這七大難題,不是人們為慶祝千禧年憑空創造出來,而是具悠久歷史、直搗數學各個領域核心、影響深遠的關鍵問題。解決一道題,可獲一百萬美元獎金。七道題中,本文其實已觸及兩道。一道是黎曼猜想,它與 3.3 部分質數第三問「質數出現的頻率具體地應如何預測?」有莫大關聯。另一道是七道題中唯一已解決的龐加萊猜想:

定理(10) 龐加萊猜想

任意一個單連通和封閉的三維拓撲流形,都與三維球面同胚。

它由是 Perelman 在 2003 解決,龐加萊猜想因而升格為「定理」。龐加萊猜想究竟是研究甚麼 pattern?通俗來說,它有助於「分類三維幾何形狀」。不過這課題太難了,無法在此深究。它有如一幢重門深鎖的堡壘,我們只能在鐵閘外探頭張望,摸著圍牆的花紋,打量一番。以下 3.4.1 – 3.4.3 部分,將談談三個相關概念:光滑流形、三維球面、和三維環面。希望這趟高維空間狂想之旅,可讓各位一睹幾何世界如何抽象又脫離現實生活。

開始前請有心理準備,3.4 部分將是本文最費力的一節。不是因為內容艱深,而是冗長,數學含量較重,要求一定耐性。但欲窮千里目,更上一層樓。我深信 3.4 部份能將 formal pattern 的抽象和脫離現實演繹得淋漓盡致。不過如果你中途實在堅持不下,也無傷大礙:從 3.5 部分再上路即可。

3.4.1. 光滑流形

我們從小已接觸幾何形狀:

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但除此之外,數學家也關心更廣義上的幾何形狀。上圖的形狀,都是中規中舉、很規則的。舉例,圓形,很對稱很完美。但壓扁一些,變成橢圓,它仍是一個幾何形狀。再擺弄一下,七歪八扭,仍然是個幾何形狀!甚至可脫離二維平面轉戰三維空間,把它剪開再打個繩結,它依然是幾何形狀!

當數學家開始考慮這些不規則形狀,眼光開闊了,便發現更多有趣豐富的 pattern,而更多問題亦應運而生。研究這些形狀,需要新的語言。於是數學家發明了「光滑流形」,它將是 3.4.1 部份的主角。

定義(5) 光滑流形(以下簡稱流形

是指一個被賦予了光滑結構的拓撲流形

你可能大驚:我們在 2.1 部分見識過這定義,高不可攀,要由基礎解說豈不寫到天昏地暗?放心,正如前述,定義寫出來往往隱悔難懂,但它背後所代表的事物則未必如此:幾何學尤其如此。故此,我們將不會正面迎擊定義 (5),只會旁敲側擊,藉由例子解釋流形描述哪類形狀,從而直觀地理解其意義。以下這些流形,除名稱以外,部分亦有數學符號,甚或 emoji 代表。

一維流形:(圖片來源在附錄四)

關於 ℝ1:它是一條向左和右都無限伸延的直線。換個角度,你可把它視為熟悉的數線:

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二維流形:

關於 ℝ2:它是一個向四方八面無限延伸的平面。(上圖 ℝ2 中的複雜線條僅為輔助讀者理解,實則並不屬於 ℝ2)在小學中學所讀的所有平面幾何,正方形、圓形、三角形、畢氏定理等等,全部發生在 ℝ2 上。故此,我們又稱 ℝ2 為平面世界,或二維世界

三維流形:

關於 ℝ3:想像一個無限大的房間。它沒有前後左右四面牆,也沒有柱子支撐,四面八方皆無遮擋。更甚者,它沒有天花板,向上可無限上升;也沒地板,無處可站,只有無窮的深淵。(上圖 ℝ3 中的複雜線條僅為輔助讀者理解,實則並不屬於 ℝ3)如此無窮無盡的空間,便是 ℝ3。留意如果撇除「無窮無盡」這點,ℝ3 的原型便是我們的現實世界。故此,以下將以三維空間統稱現實世界和 ℝ3

還有三點值得留意。

第一,起角的形狀全被排除了,如正方形、錐體、柱體等,原因是它們不光滑。這不代表數學家不研究起角的形狀:只是它們屬於其他類型,需以其他語言描述。

第二,留意某些流形的名稱與慣常意思略有出入。例如上圖中我們刻意具分了「圓形」和「圓盤」前者,記為 S1,僅僅是指圓形的邊界,而不包含裡面那空白部分。反觀後者,記為 D2,則是實心的,連其內在也包含。所以 S1 沒有面積,只有周界,而 D2 則既有面積,亦有周界。

我們也區分只有表面而不包含內在的「球面 S2」,以及包含內裡的「球體 D3。同理,S2 沒有體積,只有表面積,而 D3 則既有體積,亦有表面積。順便一提,「包含內裡」和「實心」是意思一樣的。

 

我們又區分像冬甩表皮的「環面 T2,和像整個冬甩 🍩 的「實心環面 D2×S1

 

第三,是維度的意思。通俗的說法是:只有長度的形狀是一維,有長度和闊度的是二維,而長闊高都有的則是三維。例如,漫畫和卡通片在日語中有個別名:二次元世界,原因是它們皆存在於平面上。而我們的現實世界則是三維的。數學上,這說法大致正確,但未夠準確。為迎接 3.4.2 和 3.4.3 部分,我們須更嚴格地定義維度

讓我們回顧圓形 S1 和球面 S2。假設,S1上居住了一隻螞蟻🐜,S2 上則住了一隻蜘蛛🕷️。你覺得牠們的活動誰較自由?肯定是蜘蛛吧。螞蟻只能沿著窄窄的黑線爬行,因為根據定義 S1 內裡根本無處容身。結果牠不論待在圓形 S1 哪處,移動方向只有前和後。反觀蜘蛛在球面 S2 上,可前後左右四圍走,無拘無束。由此可見,在二維流形上活動,遠比在一維上的自由。

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我們又問:假設圓盤 D2 上居住了一隻蜘蛛🕷️球體 D3 裡面住了一隻雀仔🦜。留意,此處假設這 D3 是由空氣構成,可在內任意活動。你覺得牠們誰較自由?肯定是雀仔,因為除了前後左右移動,牠更可往上往下,爬升或俯衝任意飛。這不單是因為牠有對翼,而是 D3 內之空間容許牠如此。雖然 D3 的邊界像個籠子般將牠困著,不能飛遠,但至少在籠裏有一定自由。反觀 D2 只是塊平面,按規定蜘蛛不許跳躍,必須緊貼平面爬行。所以蜘蛛只能水平移動,不能上下活動。由此,在三維流形裡活動,又比在二維上的自由。(正因如此,飛行從來是人類的夢想)

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看過以上四例,以下關於維度的定義應該不難理解:(當然這非正式的數學定義)

定義 (15)

一維流形上生活,只能左右移動。

二維的,則可前後左右或打斜走。

三維的,可前後左右,更可上下打斜移動,最自由。

大家現已對流形有基本認識,可正式踏上高維狂想之旅!回顧以上圖表,只要細心觀察各流形的符號,不難發現某些流形是「一系列」出現的,而且擁有某些共通點。如

  • 無限長直線 ℝ1 ,其「二維版本」是無限大平面 ℝ2,而「三維版本」則是無限大空間 ℝ3。留意這三者都是無限大的,即是向外連綿不斷地伸延,無窮無盡。再者,這三者皆無邊界。例如,一隻生活在 ℝ2 上的蜘蛛🕷️,不管牠走得多遠,都永無絕路,不會撞上邊界。

  

  • 線段 D1,其二維版本是圓盤 D2,而三維版本則是球體 D3。與 ℝ1 ℝ2 ℝ3 相反,D1 D2 D3 都是有限大的。再者,這三者皆有邊界。例如,一隻蜘蛛🕷️在 D2上,從中心出發向外爬,牠終會到達邊界,無路可走。

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  • 圓形 S1,其二維版本是球面 S2。顯然這兩者都是有限大的。但與 D1 D2 D3 不同,S1 S2 並無邊界!例如一隻在 S2 上的蜘蛛🕷️,牠如何亂盪,雖會兜回原地,卻不會撞上邊界。

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總結,ℝ1 ℝ2 ℝ3、D1 D2 D3、S1 S2 這三個系列的特性各異:

1, ℝ2, ℝ3D1, D2, D3S1, S2
無限大,無邊界有限大,有邊界有限大,無邊界

這個表很自然導出兩個問題。

第一,有沒有一些流形,是無限大,卻有邊界?有,具體例子並不難想,有興趣的讀者不妨試試,答案在附錄三。

第二,怎麼欠了 S3 ? 我們雖不知 S3 是何物,但如盲目按上表推敲,S3 應是有限大,且沒有邊界的三維流形。翻查至今所介紹的所有例子,卻沒有如此流形。難道我畫漏了?還是 S3 根本不存在?當然都不是。數學上,S3 的正名是三維球面。但我敢說,如果你只憑日常經驗或常識去尋覓它,將窮一生之力也徒勞無功。

這麼誇張?這並非信口開河,等我解釋。眾所周知,圓形 S1 是個平面圖形,換言之它可被畫在平面。又知道,縱使球面 S2 是二維的,但它不是平面圖形,而是立體的,換言之 S2 不存在於平面 上而須放在三維空間之內。我們輕輕類比一下,可知 S3 如果存在,不能存在於三維空間內而必須放在四維空間之內!但現實世界是三維的,四維空間(記為 ℝ4)是甚麼樣,無人知,總之是超現實的。這意味,S3 是畫不出來、造不出來、且是實現一切都無可比擬!S3 就是如此抽象,不可觸及,連想像其模樣也似乎無從入手。

幸而,研究抽象事物正是數學家專業,他們創造適合定義,證明相關定理,排除萬難研究 S3,以至其他三維流形。其實三維流形五花八門,遠比二維的豐富,之不過它們大多不存在於現實世界,而只在四維、五維、六維等高維空間中! 2.4 部分曾提及數學家 Thurston 的事跡:「他提出了幾何化猜想。這是一個極廣泛的猜想:它將龐加萊猜想吸收了,將之變成其中一個小 case。他亦因此獲得菲爾斯獎。」這個幾何化猜想,是一幅宏大的願景圖,引領一眾幾何學家理解、分類三維流形。當 Perelman 在 2003 年成功證明龐加萊猜想,便是將最後一片拼圖補上,一併證明了幾何化猜想,完成分類三維流形的巨業。

不過正如前述,本節的目標只是三維球面和三維環面。

3.4.2. 三維球面 S³

現開始構想三維球面 S3。這趟旅程將頗為曲折,中途你或會疑惑內容看似與數學無關。請放心,只要跟著我步伐,耐心細讀,到 3.4.2 部分結尾我們定會抵達 S3

好,讓我拋出一個問題:地球表面像哪個流形?

首先釐清問題。我假設地球表面是光滑的,即是沒有山脈,沒有深溝,只有光禿禿無邊無際的平原。再者,我們只管地球的表面,裡面的地幔地核一概不理。有了這些前設,正常人都知道(除了地平論者?),地球表面是個球面,即 S2 🌐

但這答案並非自古以來都如此顯然。從前古人登上高山,看見大地無邊無際,不見盡頭,曾以為地表是個的無限平面,即 ℝ2。又曾有人以為地表是圓盤狀 ⚫ 的,即像 D2,由四隻大象馱著,大象則踏在大龜背上。直至公元前三世紀的古希臘,偉大哲學家 Aristotle (亞里士多德)透過天文觀測,論證地表是球面形狀的。到十五世紀大航海時代,麥哲倫船隊以三年時間完成環球之旅,進一步證明地面是個球面。至二十世紀太空時代,人類終於能夠從太空回望,一睹地球全貌。1972 年 Apollo 17 號攝下著名照片 The Blue Marble,無容置疑,地表是 S2 形狀。

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好,第二個問題:宇宙空間像哪個流形?留意所謂「宇宙空間」,是純粹指宇宙的「空間」,而不包括空間裡的東西。即是所有行星、恆星、星系、星雲、黑洞等等雜物,我們一律不理!它們只是沙石,少一塊或多一堆也不影響我們所關心的宇宙空間形狀。

簡單觀察一下,我們活在宇宙間,可以前進、退後、向左行、往右走,又能拾級向上向下走,自由自在。所以根據定義 (15),宇宙肯定是三維的,這亦符合常識。但具體是圖表中哪個三維流形?

球體 / D3實心環面 / D2×S1實心雙環面無限大空間 / ℝ3

這是個難解的天文學問題。如果只直觀地猜測,舉頭望天,宇宙看似無窮無盡,你可能答「宇宙是個無窮大的三維空間,像 ℝ3。這有如古人以為地表是 ℝ2。但如果你相信宇宙有盡頭,之不過那邊界是在萬億光年以外遙不可見,則可能答「宇宙是個極大的球體,像 D3。這又如古人以為地表是 D2。但除此之外還有其他可能嗎?

有,現在我提出第三個可能。請額外留神,因為終於終於要正式構想三維球面 S3 了!

假設一艘太空船從地球出發。我們規定:它升空後必須選定一個方向,然後一直前進,不准回頭或轉彎。即只能畢直遠離地球,駛向宇宙深處。具體情景,不妨想像 David Bowie 的 Space Oddity。歌詞中太空人 Major Tom 的飛船機件失靈,無法操控。在無重狀態,無外力作用下,飛船只會根據慣性而直線前進。而 Major Tom 也只能無助地望著窗外藍色的地球愈飄愈遠,消失在視線中⋯⋯

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根據前述,我們忽略宇宙中各種星體,所以可排除飛船意外撞向其他星球,或被黑洞吞噬之類情形。故此,這艘飛船將衝出太陽系,飛越銀河系,一直前行,最終結局將如何?一種可能:如果宇宙空間是ℝ3,則將永無止境地前行。另一可能,如果宇宙空間是像有邊界的 D3 ,飛船終有一天抵達宇宙盡頭,無法前行。第三種可能,是飛船行過億萬光年後,從另一方向,回歸地球

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「喂,等等,怎麼可能?」你問。「飛船既是直線飛走又怎能回來?

不,有可能的。你斷言「無可能」,只是基於日常經驗和常識。但當牽涉宇宙層次的現象,遠離於日常生活,常識便未必適用

讓我舉一類比:如果你回到一萬年前,告訴一個原始人:「面向北方,一直走不要停,那穿洋過海後,你終會從南面回到此地。」原始人肯定大驚,因為這有違他常識啊!但你知道,他見識狹窄,只以為地表是 ℝ2 或 D2,誰不知原來是 S2。他不知道地表根本是彎曲的,在地表上走直線,路途長了,便必有彎度。路途愈長,彎度愈大,最終彎回原地。

同理,你以為飛船直線飛走便不可能回來。從 Major Tom 角度,飛船確實以直線飛行。誰不知宇宙空間是彎曲的。不識廬山真面目,只緣身在此山中。飛船在宇宙中小如微塵,從一個局部的視角,當然無法察覺宇宙大域的空間彎曲。當飛船愈飛愈遠,其飛行路徑的彎曲正一點一滴地積累起來。以致飛過億萬光年後,累積的彎度終於足夠把飛行路線扭成一個圓形,讓飛船回歸久違的地球。

只憑常理,這確實難以置信。但宇宙之大無奇不有,這種情況至少理論上是可能的。有趣吧?

好,離 S3 只剩埋門一步了。回顧球面 S2,我們知道不論身處地球哪處,如果面向北方,一直前進,終會返回原地。但不單如此,你其實可以選擇任何一個方向開展旅程。例如面向東北方,畢直前進,也終會回歸原地。又或面向西南偏西,一直走,亦終可兜回來。

我們將這對 S2 的描述,套用於剛才對宇宙的想像。假定我們已發現在這宇宙,當一艘太空船以直線飛行,在許久許久以後它會從另一方向返回地球。現在我們再假定:這艘飛船,不論當初選擇哪個方向開展環繞宇宙之旅,它都能回歸地球

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如果我們的宇宙空間滿足這個條件,我們則稱它的形狀為三維球面,其符號記為 S3。總結:

定義 (16) 三維球面

假設有個三維流形,在內有艘飛船。又假設,不論這艘飛船選擇哪個方向,畢直前進,它都能回歸原處。那麼,我們稱這三維流形為一個三維球面,其符號記為 S3

這,便是抽象的 S3。那 S1 S2 S3 系列也終於完成了,真不容易。收結前,有三點補充。

第一,可能有讀者疑惑:我們明明在談數學,怎麼研究 S3 時連地球、宇宙、飛船、Space Oddity 都搬出來,這哪像數學?誠然,這絕非嚴謹的數學語言。如果翻開一本現代幾何學的書,以正式的語言,S3 的定義可寫得極之精簡:

定義 (16’) 三維球面

三維球面,記為 S3,是集合 {(w, x, y, z) ∈ ℝ4w2 + x2 + y2 + z2 = 1}。

普通人看著,不明所以。但正如我反覆強調,數學符號看起來很抽象,但其背後所代表的概念則未必。換個生動的表達方式,地球、宇宙、飛船、Space Oddity ,便可為這堆符號 {(w, x, y, z) ∈ ℝ4w2 + x2 + y2 + z2 = 1} 解碼,讓一般讀者也可理解 S3 的面貌。

第二,好奇的讀者會問,既然有 S1、S2、S3,那有 S4、S5、S6 等等嗎?。用數學符號定義它們,將不費吹灰之力。但若要求大眾化的解釋,我也無能為力了。

第三,我要作一個坦白。熟知幾何學的讀者應已發現,我有時濫用「幾何」一詞,並將幾何學和拓撲學的概念混為一談。例如以上我其實將 S3 定義成黎曼流形,而非光滑流形了,算是偷換概念。但經我反覆衡量,實在認為這些偏差無傷大雅,反能方便表達文意。對此,請見諒。

仍未落伍,苦苦堅持的你,想必已身心疲累吧。對此我感謝兼佩服。但其實你讀得累,我寫得更累 😑。這 3.4 部分是我苦煞思量,反覆刪改,多個夜晚在卧床入眠前構思而成。閒聊幾句,寫這篇《數學的浪漫》,我是有時間,或有靈感,或想通了,才動筆寫,斷斷續續。這慵懶寫法的壞處是效率不彰,但好處是慢功出細貨。尤其本文難寫之處在表達和選材。有時想到甚麼,但下筆卻寫不通。有時寫了幾段,丟淡幾天,沉澱一下,又發現更好寫法,反反覆覆。結果說來慚愧,引言寫在九月,寫到這段竟是翌年五月初了,慢得驚人。時值仲春,芝加哥仍是寒冷,窗外灑著微雨,天色一片灰濛,昏睡之意由然而生。加上美國疫情肆虐,居家隔離看似沒完沒了,室內彌漫的鬱悶揮之不去⋯⋯

以上這段廢話旨在讓讀者放鬆一下繃緊的腦袋。你讀得累,我寫得累。不過我覺得是值得的,希望你讀畢本文後會有同感。再堅持一陣,到第 4 部分便輕鬆了。

3.4.3. 三維環面 T³

回顧這些我們已遇見的流形:

1, ℝ2, ℝ3D1, D2, D3S1, S2, S3T2
無限大,無邊界有限大,有邊界有限大,無邊界有限大,無邊界

重溫,第四列的環面 T2 即是冬甩🍩的表皮。

一看便知,T2 是有限大且無邊界的。以上圖表又導出一問題:怎麼沒有 T3

T3 是存在的,正名為三維環面。但如 S3 般,不能存在於三維空間內而必須嵌在四維空間 ℝ4 之內。 3.4.3 部份便要是介紹 T3

但我面對一個兩難。T3 無疑是有趣的三維流形,它有助讀者更進一步體會高深幾何的抽象,脫離現實。然而,這部分內容雖不難,卻如 3.4.2 般冗長。我思考良久,終於決定把 3.4.3 的餘下部分放在附錄二。如果你剛才讀 3.4.2 時津津有味,意猶未盡,歡迎立即到附錄二欣賞 T3!否則,順著直接讀 3.5 也無不可。

3.5. 孤高獨立

漫長的數學課終於結束啦!我們可重回正軌,談談第 3 部分所帶出的數學的浪漫。

現在大家具備了 3.2 – 3.4 部分的數學知識,相信會同意:數學知識真是抽象!回顧 3.2 – 3.4 所介紹的:

  • 3.2 部分的畢氏定理是描述直角三角形的 pattern。但完美的直角三角形只存在於完美的平面(即 ℝ2)當中
  • 3.3 部分談及質數。數學家熱衷於探索質數的 pattern,而這些 pattern 只存在於抽象的數字世界,在現實世界即使踏遍天涯海角也無法尋獲。
  • 3.4 部分介紹光滑流形,並提供不少例子,當中包括三維球面 S3 和 三維環面 T3。光滑流形之抽象可分為兩層。第一,所有光滑流形,皆只存在於某想像中的完美世界,而非現實世界。舉例,我們可以在紙上畫個工整的圓形 S1,但這圓形不是百分百光滑的:如以顯微鏡細看定有凸凹。第二,某些流形只存在於高維空間中。在現實中雖沒有完美的球面 S2,但尚有外貌近似的:如籃球表面🏀。但面對如 S3 或 T3 等三維流形,在現實卻無模擬品,就連想像其面貌也十分困難:看 3.4.2 和 3.4.3 是多麼冗長!更甚者,ℝ3, S3, T3 只是三維流形中冰山一角。山外有山,三維流形之豐富其實遠超一維或二維流形,簡直五彩繽紛。但要認識它們,別無他法,只能透過高深抽象的數學語言。這有如金庸小說「飛雪連天射白鹿,笑書神俠倚碧鴛」部部驚天動地,但如讀者不諳中文,則也是枉然。總之,絕大多三維流形皆是一般人無法想像的,只有熟悉數學(至研究院程度)的人才能一睹其風采。

這便是數學孤高獨立之形象。

有時我在課室裡聽課分了心,盯著寫滿符號的黑板,也會忽然一頓:究竟我在學甚麼?我們所研究的,如關於質數、S3、T3 等的特性或 pattern,並不存在於現實世界。大部分純粹數學,只存在於數學家的腦海中、大學圖書館的書本和學術期刊中、互聯網上如維基百科等網頁中。如果這刻把世上每個數學家的記憶抹去,所有數學文本燒毀,每個記載數學的網頁或電子檔案刪除,那麼我們所研究的 formal pattern 還存在嗎?(有關於此,第 5 部分將詳述)

反觀科學,是研究現實世界的 pattern。所以即使把元素週期表、萬有引力理論、進化論等知識抹去,so what?118 種元素將依然存在,地球將依舊圍繞太陽公轉,物競天擇適者生存將繼續是地球生態系統的無形推手。由此可見,數學雖似科學般嚴謹,卻又不如科學般依賴於現實世界。

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總之,數學知識——縱非全部,但至少大部分——都十分抽象,且脫離現實。按道理,這便回應了「remoteness from everyday life」一項。

但事實上,以上對數學那 remoteness from everyday life 之描述,只是一鱗片爪:我們還遠未觸及數學真正的浪漫。

想想,「remoteness from everyday life」僅是中性的描述,「romance」卻是褒義的。抽象和脫離現實的問題,俯拾皆是。例如問,12345 的 99999 次方是多少?這是天文數字,脫離現實。但這問題本身就是刻意堆砌,十分無聊,更與 romance 沾不上邊。故此,以上論述過數學的抽象後,若要顯出其浪漫,則還應解釋:為何這些抽象事物是有意義,值得研究的

答案是,數學知識往往是渾然天成的。不過這又是另一個長篇故事了。大家都累,先談些輕鬆的。關於數學的研究對象,怎麼 formal,具邏輯性,且渾然天成,在第 5 部分再討論。

第 3 部分小結:數學的研究對象,是抽象且具邏輯的 pattern。第 3 部分展示了「抽象,脫離現實」一環。

(第 4、5 部分和丙部:待續⋯⋯)

附錄一:定理 (2) 的證明

重溫一次:

定理 (2) 任何一個單數,乘以另一個單數,結果一定是單數。

以下我將證明定理 (2)。這個證明除有底線部分外,皆只是常識程度的數學,配合簡單邏輯論證。所以我鼓勵讀者硬著頭皮嘗試理解。

還記得,單數,就是不能被 2 除盡的整數。但為往後的方便,我將介紹以下看似隱晦,實則意思完全一樣的定義:

定義 (3’) 假設有一個整數,稱之為 a。那麼 a 是一個單數的意思是:存在某個整數 b 使得

a = 2b + 1

留意,我們通常省略代數算式中的乘號,所以 2b+1 即是 2×b+1。

例如,由於 7 = 2×3 + 1,而 3 又是整數,所以 7 是單數。又由於 10 = 2×5,所以 10 不是單數。

定理 (2) 的證明:

假設 是一個單數,b 是另一個單數,我們的目標是證明 ab 也是單數。根據定義 (3’),存在某個整數 c 使得
a = 2c + 1
也存在某整數d使得
b = 2d + 1
因此
ab = (2c + 1)(2d + 1)
= (2c + 1)(2d) + (2c + 1)
= (2c)(2d) + 2d + 2c + 1
= 4cd + 2d + 2c + 1
= 2(2cd + d + c) + 1
留意這有底線部分,我們用了定理(11)「乘法分配性質」。很明顯,由於c和d都是整數,所以2cd + d + c是個整數。由此可見,存在某整數e使得
ab = 2e + 1
準確來說,e 就是 2cd + d + c。因此 ab 符合先前定義 (3’) 對單數的定義,所以它是一個單數。

證明完畢。

附錄二:繼續 3.4.3 部分

這部分的目標是定義三維環面 T3

定義 (17’) 三維環面 T3

三維環面,記為 T3,是 {(eix, eiy, eiz): x, y, z ∈ ℝ}。

哈哈不明白吧?所以我們要另覓方法去構想 T3。請慢慢讀這故事吧。

上世紀末,Nokia 手機風靡全球,當中以 3310 型號尤其著名。它除以耐用見稱,可抵受核彈爆炸,更內置一款經典遊戲:貪食蛇。 這遊戲的目標,是用上下左右鍵控制著蛇,吞食獵物。

從影片可見,這遊戲的場地有一重要特徵:蛇不會撞上邊界。例如當蛇直衝向左邊牆時,只會徑直穿過,並從右邊鑽回來。如果是衝向上面牆,則會從下面鑽上來。

仔細想想,這不是很奇怪嗎?明明這遊戲場地的上下兩邊應是連接的,而左右兩邊亦如此,但礙於熒幕顯示效果,卻要硬生生地將之切割開。我們不如撥亂反正,嘗試將上下兩邊黏起來,又將左右兩邊黏起來,看看結果如何?

為此,我容許將遊戲場地的形狀隨意扭曲,拉扯,不必維持那方正形狀,甚麼長度闊度面積也不需保持。只要過程中沒造成撕裂,那便可以。

為更清楚表達,我將遊戲場地畫了下來。而場邊的顏色是用以提醒我們邊界要如何黏貼起來。

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好,第一步,是將綠色兩邊連接。既可隨便扭曲,這並非難事:

第一步完成!第二步,將紅色邊連接

 

大功告成!咦,這形狀感覺似曾相識?眼利的讀者會發現,它根本是環面 T2! Nokia 3310 這貪食蛇遊戲中,原來暗藏一個 T2

好, 準備功夫完成,開始構想三維環面 T3。記得我們假定 T3 是 T2 的「三維版本」,故此以下策略是:模仿上述製作 T2 的步驟,只不過要將其全部「三維化」

回想剛才製作 T2 的起步點,是一個正方形的遊戲場地。輕輕類比一下,可知製作 T3 的起步點應是三維版本的正方形。你不妨憑感覺,以常識推敲,這是甚麼形狀?給個提示:這不是個光滑流形,正如起角的正方形不是個光滑流形。

答案:立方體。換言之,「遊戲場地」變成「遊戲空間」,貪食蛇可在內左右、前後、上下活動。剛才正方形有四邊,現在立方體卻有六面邊界。又類推一下,可知當蛇穿過右邊牆,便會從左邊牆返回立方體內。若穿過下面地板,則會從天花落回來。若穿過正面牆,則從背面牆回來。

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既知道立方體是起點,下一步便要適當地黏貼其邊界。剛才我們將正方形左右兩邊連接,上下兩邊連接。類推一下,便知現在有三步要做:先將立方體的左右兩面連接,再將上下兩面連接,最後將前後兩面連接。

第一步:連接左右,即紅色兩面。還記得,我們容許將立方體隨意扭曲,只要不撕裂便可。故此,第一步可如此達成:

第二步:連接上下綠色兩面。只要將深藍色圓柱面內壁拉出來,向外反,還是勉強能將綠色兩面貼合起來。

最後第三步:連接藍色兩面。如果你看懂以上的連環圖,便應發現那藍色兩面由本來的一對正方形,變成一對環面 T2。深色的 T2 在外面,淺色的在裡面。而原本的立方體,則變成夾在兩個 T2 之間那部分。如此,深藍和淺藍兩面被完全分隔了,看來不可能將兩者貼合!

的確,現實中這並不可能。其實這現象並不難理解。還記得剛才製作 T2 時,雖然遊戲場地本是個平面形狀(正方形),但在變形過程中,卻必須容許它脫離平面世界,一躍進入現實三維世界,才能完成製作 T2。類推一下,可知若要製作 T3,同樣必須提升一維:即是要把這個遊戲空間由現實三維空間搬到四維空間,才能完成第三步。換句話,在現實世界根本不可能製造 T3!但大家也不意外吧,因為剛才 S3 同是如此。

總結,有以下定義:

定義 (17) 三維環面

透過將一個立方體的左右兩面連接,上下兩面連接,前後兩面連接,最後所得那三維流形便是三維環面,記為 T3

終於,我們成功構造了 T3。總結我們目前所見過的三維流形:

留意第七個是剛才第二步的製成品。不過正如前述,三維流形遠不止於此,還有 ℝP3、Σ2×S1 等等,五花八門。

附錄三:答案

無限大卻有邊界的一維流形,只向右無限伸延的直線:

附錄四:參考資料

火星圖片:European Space Agency & Max-Planck Institute for Solar System Research for OSIRIS Team ESA/MPS/UPD/LAM/IAA/RSSD/INTA/UPM/DASP/IDA, http://www.esa.int/spaceinimages/Images/2007/02/True-colour_image_of_Mars_seen_by_OSIRIS

大峽谷圖片:Murray Foubister, https://www.flickr.com/photos/mfoubister/8645178272/, CC BY-SA 2.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=51850121

流形圖片:

球面:Geek 3, https://commons.m.wikimedia.org/wiki/File:Sphere_wireframe_10deg_6r.svg#mw-jump-to-license

環面:YassineMrabethttps://commons.m.wikimedia.org/wiki/File:Simple_Torus.svg

雙環面:H. Karcher, http://stanwagon.com/wagon/mathimages/htmllinks/mathimages_1.html

三環面:Eric W. Weissteinhttps://mathworld.wolfram.com/TripleTorus.html

實心球體:Gutten på Hemsen, https://en.m.wikipedia.org/wiki/File:Black_pog.svg

實心環面、實心雙環面:Oleg Alexandrovhttps://commons.m.wikimedia.org/wiki/File:Torus_illustration.png#mw-jump-to-license

三維空間:Jeff Weeks, https://commons.m.wikimedia.org/wiki/File:3-Manifold_3-Torus.png

作者網誌

(作者簡介:芝加哥大學數學博士生)

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