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民主的悖論 — 淺論阿羅不可能定理

2019/12/5 — 10:00

【文:hevangel】

Eric Maskin & Amartya Sen, The Arrow Impossibility Theorem, Columbia University Press, 2014

拖了幾個星期,見香港區議會選舉建制慘敗,鬆了一口氣後,才有心情寫這篇書評,討論一下阿羅不可能定理 (Arrow's Impossibility Theorem) 這個民主的悖論 (Arrow's Impossibility Theorem 又被稱為 "Arrow's Paradox") 。

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自從反送中運動以來,據我在網絡平台罵戰的觀察,一般港人不論藍絲或黃絲,都不會質疑民主制度的合理性。不似一些被中共洗腦的小紅粉(有港人,也有海外華橋,不過以大陸人居多),會說香港今天的亂局,正好印證民主制度的失敗, 所以中共的極權專政比民主優勝云云。事實上今天亂局的主要成因,正正是香港沒有真正的民主。

大部份小紅粉蠻不講理思路混亂,純粹網絡曱甴,不用浪費時間理他們。偶然有些偽知識份子小紅粉,竟膽敢挪用阿羅不可能定理,宣稱世上沒有完美的民主投票方法,從而偷換慨念,說民主制度不可取。我可以寫包單任何打著「阿羅不可能定理」旗號反對民主的人,肯定沒有看原著理論,乃人格誠信破產的騙徒。(題外話:若果見到有人用「甲 > 乙 > 丙 > 甲」的循環排名去講「阿羅不可能定理」,那個人肯定無料到,兼嚴重誤解阿羅不可能定理。循環排名那個是 Condorcet 悖論,十八世紀已經提出來,阿羅不可能定理覆蓋的範圍更廣泛。)

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這本 The Arrow Impossibility Theorem,收錄了兩位諾貝爾經濟學家 Eric Maskin 和 Amartya Sen 於哥倫比亞大學關於阿羅不可能定理的演講,連同寫引言 (opening remarks) 的 Joseph Stiglitz 和寫評述及感言的主角 Kenneth Arrow(阿羅本人是也),這本書的作者有四位諾貝爾經濟學家,全部都是學術巨星,可謂星光熠熠。 Sen 的演講部份主要是論證阿羅不可能定理,定理本身不太難明白,只是很基礎的數學推論。Maskin 的演講則論證 majority rule 投票方法在大多數的現實情況下,能夠滿足阿羅提出的四個條件,把不可能變成可能。薄薄一本百五頁的小書,深入淺出地把阿羅不可能定理解釋清楚。

說了這麼久,那麼阿羅不可能定理到底是什麼東西呢? Arrow 原本是研究公司如何運作的經濟學家,用數學去論證股東如何投票作出商業決策,結果他的理論同樣適用於民主選舉。Arrow 理論中的民主選舉,是一個為學術討論而設想的完美選舉,沒有種票、 DQ 候選人、假地址投票、蛇齋餅糭買票等現實問題。簡單來說,就是有一群人有幾個不同選項,每個人心中排列選項的優先次序不同,如何在眾選項中挑選出最多人滿意的選項;而何謂最多人滿意,是指投票的結果必需合乎以下四個原則。

投票選項排名沒有限制 Unrestricted Domain (U)

在阿羅不可能定理中,投票並非常見的只能選擇一個選項的投票方式,而選民必須把所有選項按優先次序排名。 (U) 是指選民投票的排名沒有任何限制,在得出共識的排名亦沒有任何預設的限制時,必定存在一種點票的計算方法,能總結出一個(只有一個)明確是投票者共識的選項排名。假若選民選票中的選項沒有改變,只有點票方法改變(如分組點票),卻導致不同的選舉結果,那就違返 (U) 的原則了。點票的計算方法在定理中稱為 "social welfare function" ,簡單來說就是一條數學公式,把所有選民的投票輸入,計算出投票者共識排名的答案。阿羅指出必需有這樣一條公式的存在,但沒有明言公式計算的方法。現實中有好幾個點票方式,能夠乎合 (U) 的原則,不過更多的情況卻是違反 (U) 的原則,例如北韓預知結果的選舉,又或者功能組別分組點票等。

無關選項不影響結果 Independence of Irrelevant Alternatives (I)

任何兩個選項排名的共識的計算,只能來自選民關於那兩個選項的排名,選民對於其他無關的選項的排名,不會影響那兩個選項的結果。若果選舉的結果是「甲 > 乙」,不會有為出現第三個選項「丙」,讓選舉結果變成「乙 > 甲」。舉個例子:香港區議會選舉,假若一區只有兩個候選人,不論「泛民對建制」或「本土對建制」,建制都一定會輸;可是,當同時出現三個候選人,本土和泛民互相分薄票源,結果建制執死雞勝出,俗稱「鎅票」 。香港區議會選舉的單議席單票制,就違反了 (I) 這個原則了。

選舉結果要如實反映民意 Pareto Principle (P)

若果所有選民都選擇「甲 > 乙」,那麼選舉結果不可能出現「乙 > 甲」。這是一個純數學上的原則,除非選民人數很少,在現實中不可能出現所有選民對「甲」和「乙」兩個選項的排名都相同,這個原則可以理解為點票方式最基本的測試。要得記阿羅不可能定理中,選舉結果並不只有一個贏家,選民投票是所有選項的排名,共識的結果也是所有選項的排名。舉個例子,選票中有「甲乙丙丁」四個選項,假定所有人都選擇「甲 > 乙」(例如「丙 > 甲 > 丁 > 乙」或「丁 > 丙 > 甲 > 乙」),那麼,如果點票方式會出現「乙 > 甲」共識的結果,那就違反了 (P) 這個原則了。

沒有一個人可以左右選舉結果 Nondictatorship (D)

阿羅不可能定理中說的 "dictatorship" ,不單是指字面定義的獨裁者(如習帝),還包括某些點票方式,令某人手握決定性的一票,可以左右最終的選舉結果,不論其他選民如何選擇。原版不阿羅可能定理中「獨裁者」的定義是只有一個人,嚴格上獨裁集團(例如香港特首選舉裏的選委會小圈子)並沒有違反 (D) 的原則,後來其他政治學者和經濟學者就這個問題補完了 (D) 的論述。

每個原則獨立來看,皆是公平選舉不可缺少的要素,但 Arrow 以他的不可能定理指出,數學上四個原則不可能同時並存,所以不存在公平的民主制度。因為篇幅所限,我不在此複述阿羅不可能定理的證明,有興趣的讀者可以自己看,簡來來說是 (U) (I) (P) 並存就必定會產生 (D)。

Maskin 在書中的推論則指出,在現實中 (U) 並不需要,因為選民的投票意願,通常會按政治光譜作出排名。若果考慮政治光譜的現實因素,收窄 (U) 原則以容許有某些排名限制,例如把政治光譜從左到右編排,預設選舉結果不可能出現不按政治光譜的胡亂排名 (稱這收窄的原則為「(U') 」)。例如黃絲會排「本土 > 泛民 > 建制商界 >建制土共」或「泛民 > 本土 > 建制商界 > 建制土共」,但絕不會出現「泛民 > 建制土共 > 本土 > 建制商界」的排例,同樣地藍絲亦不可能出現「建制土共 > 泛民 > 本土 > 建制商界」的排名。那麼,不可能定理就化為可能,因為有民主選舉制度能夠同時乎合 (U') (I) (P) (D) 四項公平原則了。

下次當你聽到有人引用阿羅不可能定理去攻擊民主制度時,不要被他偽知識份子的包裝嚇到,你可以大大聲叫他收皮,然後叫他回家好好讀書,不要出來亂吠獻世。

 

作者自我簡介:曾想過主修哲學但怕餓死,只好工餘回大學兼讀哲學課,大概夠學分拿個哲學副修學位。網誌《哲子戲》。

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