立場新聞 Stand News

邏輯學的五本好書

2021/5/4 — 9:40

導言

邏輯學已發展成為一門分支眾多、內容極為豐富的學科,本文介紹的五本好書,只集中在演繹邏輯。筆者將在以下五個範疇各介紹一本好書: 1) 基礎邏輯; 2) 中級邏輯; 3) 數理邏輯; 4) 非經典邏輯; 5) 內涵邏輯。

本文的對象是具備一些基本的邏輯知識、並希望進一步比較全面、深入地學習形式邏輯的讀者。因此,在每個範疇裡除了重點介紹一本好書外,還會提及一些其他的書。這樣做有以下幾個目的:通過與其他好書的比較,突顯所介紹之書的特點;這些書與所介紹之書有某種銜接或互補的關係,希望能給讀者在學習邏輯時作為參考;順便讓讀者知道其他的一些好書。

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本文希望能藉由介紹五本好書,引導讀者一步步地從基礎邏輯開始,過渡到中級邏輯,然後進入高度抽象艱深的數理邏輯,再轉向模態邏輯以及其他的非經典邏輯,最後進入更為複雜的內涵邏輯。

1. Peter Smith, An Introduction to Formal Logic (Cambridge University Press, 2020) [1]

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講基礎邏輯的書汗牛充棟,好書也很多。為了便於選擇,筆者只考慮 21 世紀出版的邏輯書。筆者篩選出以下兩本: (1) Peter Smith, An Introduction to Formal Logic; (2) Nicholas J. J. Smith, Logic: The Laws of Truth 。這兩本都是非常好的書,以下只重點介紹 (1) 。

評價一本講基礎邏輯的書是否好書,筆者依據以下三個標準:1) 基本概念是否解釋得透澈;2) 翻譯部分是否講解得清楚明白;3) 對論證方法的闡述是否能使讀者容易掌握有關的技巧。以下先就這三點評價 Peter Smith 的這本書。

這本書對基本概念的解釋非常詳盡、透澈,尤其在開頭幾章,步伐比較慢,不慌不忙,一層一層像剝洋蔥似的,逐步深入地引介各種基本概念。例如,在介紹「有效性 (validity)」這個概念時,本書逐步解釋了各種不同意義的有效性。先在第 1 章初步解釋什麼是有效性,然後隨着內容的進展,在後面逐步給出更嚴格或更特殊的定義;第 2 章給出有效性的經典定義;第 6 章定義了邏輯有效性 (logical validity);第 15 章定義了「重言有效性 (tautological validity)」,非常清楚明白。

本書對邏輯聯結詞和量詞的講解尤為精彩。經典邏輯共有五個聯結詞和兩個量詞,它們與其相對應的日常詞語並不完全等同,一本好的邏輯書不僅要指出其中的不同,還要能令人信服地解釋為什麼這種不同在邏輯上是可接受的。這五個聯結詞中,實質條件句 (material conditional) 的連結詞「如果 (If) 」最不容易理解,也最難解釋清楚,而本書解釋得非常詳盡、精闢。作者首先解釋為什麼它要用如此的真值表 (truth table) 來定義,為什麼不能是其他的真假組合;然後討論實質條件句與日常語言「如果」句之間的差異,解釋為什麼將後者譯成前者是合適的。講述這個問題時,作者討論了正反雙方的意見。先討論正方的理據及其困難,然後指出為什麼這些困難是可以克服的;再討論反方的理據和責難,然後探討這些責難是否其實可以避開。為實質條件句做了精彩的辯解,極有說服力。

對於初學者來說,基礎邏輯最難的部分或許是翻譯,即將日常語言所表達的命題翻譯成邏輯公式。這在命題邏輯中還不算太難,但在謂詞邏輯中要做到準確的翻譯有時不太容易。這本書在這方面就講解得十分清楚明白。書中通過各種類型的例子,講述如何將日常語言翻譯成謂詞邏輯的公式:先找出一個句子整體的邏輯結構,然後找出次級結構,再找出次次級結構;就這樣一步步將細節補上,將複雜的句子逐漸轉化成謂詞邏輯的公式。在轉化過程中,作者通過一系列半日常英語、半邏輯語言的過渡性語句(作者稱之為「Loglish」),將日常英語逐漸轉化成邏輯公式。按照這樣的程序和步驟,即使是十分複雜的句子,最後也不難精確地翻譯成邏輯公式。對邏輯聯結詞和量詞的精闢闡釋,以及對翻譯程序的精彩講解,是筆者選擇推薦這本書最重要的理由。

邏輯論證的方法有好幾種。除了命題邏輯所特有的真值表法 (truth table method) 外,最常用的是樹形法 (tree method) 和自然演繹法 (natural deduction method) 。這本書的第1版講的是樹形法,第 2 版全部換成自然演繹法;但無論是第 1 版的樹形法還是第 2 版的自然演繹法,都講得十分仔細明瞭。本文介紹的是第 2 版。在講述如何運用自然演繹法進行論證時,作者會教你如何根據前提和結論先構思論證的方向或輪廓,然後教你如何一步步將中間的步驟補上。在展示論證的例子時,作者往往會在關鍵或有難點的地方截一截,加插一段文字說明為什麼這一步要這樣做,以及如何避免誤用論證規則。這樣,一個論證往往會被截成好幾段,中間加插文字說明其中的奧妙或原理,使讀者容易掌握有關的論證技巧。

此外,本書還穿插了不少邏輯哲學方面的討論,但這個做法有利有弊。好處是通過哲學探討能使人加深對有關概念的了解,並且能使讀者認識到對有關概念的處理不是唯一的 — 不同的處理方式會產生不同的邏輯系統。然而,過於深入地討論哲學問題容易使初學者產生混亂;此外,本書對有些問題也處理得不夠簡明。如果讀者覺得這些問題不易掌握,可以暫時略過。

自然演繹法和樹形法各有優缺點。自然演繹法比較接近我們日常推理時的思考方式,但缺點是無法判定一個無效的論證是無效的;樹形法與我們日常的思考方式相去甚遠,但其優點是能辨別有效的論證和無效的論證。 [2] 因此,最好這兩種方法都能掌握。如果讀者想學樹形法,可以上作者提供的網頁, [3] 作者將樹形法部分放在那裡,供讀者自學查閱;讀者也可以參考本節開頭提到的 (2) ,這本書講的就是樹形法。讀不同的書會有不同的收穫,這兩本書可互相補充。

2. Derek Goldrei, Propositional And Predicate Calculus: A Model of Argument (Springer, 2005)

有了基礎邏輯的知識,就可以進一步學習中級程度的邏輯。這方面的好書也有不少,早些年出版的有:(3) I. M. Copi, Symbolic Logic ;(4) W. V. Quine, Methods of Logic 。近些年出版的有: (5) David Bostock, Intermediate Logic ;(6) Derek Goldrei, Propositional And Predicate Calculus: A Model of Argument 。這些都是非常值得讀的好書,相比之下 (6) 最值得推薦。

我們先簡單介紹這本書的主要內容,然後再介紹這本書最與眾不同的特點。第 1 章是簡單的導論,介紹一些預備知識。第 2 章講述命題邏輯及其語義理論。第 3 章講述形式命題邏輯,證明了命題邏輯的一致性 (soundness) 、完全性 (completeness) 和緊緻性 (compactness) 等重要定理。第 4 章講述謂詞邏輯及其語義理論,並討論了子模型 (substructure) 和同構模型 (isomorphism) 等模型理論 (model theory) 中的重要概念。第5章講述形式謂詞邏輯,證明了謂詞邏輯的一致性和完全性等定理。第 6 章講述緊緻性定理及其應用,首先證明了一階邏輯的緊緻性定理,然後討論其在模型論中的應用,運用緊緻性定理證明了 Löwenheim-Skolem theorem 等定理。最後講述一階理論的判定性 (decidability) 問題,討論了一些可判定的理論和不可判定的理論。

這本書對各種邏輯概念的引介、對各種定理的證明,都講解得非常清晰。其版面設計有一個特點,就是在每頁的右邊留有較多的空白,每當論到較難理解的概念或較難掌握的定理,就會在旁邊的空白處附加一些提點語:補充說明或舉一些例子。閱讀正文時如果沒有遇到困難,可以不必理會這些提點語;但如果有困難,這些提點語往往會提供很大的幫助,常會使人豁然開朗。這本書還有一個特點,就是將大量的定理交給讀者證明。要讀者自行證明一些定理,許多邏輯、數學教科書都這樣做,但安排得好不好、精不精彩,是有分別的。這本書將這種策略貫徹得格外徹底。

作者會證明一些較難證明的定理,然後將大量較容易證明的定理留給讀者證明;或者會先證明一個定理中較難的部分,將未完成的部分留給讀者完成。一般教科書都是在每個章節的後面附有練習題,這本書最顯著的特點就是將練習題穿插在整個內文裡:在陳述理論的過程中,遇到需要證明的定理,往往會當即將它作為習題要讀者先嘗試證明;對於較難證明的定理,作者隨即會提供答案,但許多習題都不提供答案。讀這本書,你要預備紙和筆,隨時做習題、證明定理。此外,有些習題會涉及到下一節才會講述的概念或理論,讀者做這些習題時,需先行思考或建構有關的概念或原理(作者有時也以這種方式引入新的理論)。閱讀此書,彷彿參與了整個邏輯理論的建構,邏輯能力會因此得到很好的鍛煉。

有些人或許不喜歡這樣的編排,因為害怕證明定理。其實大多數習題都不算太難,有些證明可以通過對例題的模仿來完成,只有少數習題難度比較大。其次,不妨問一問自己學邏輯的目的是什麼?如果你的目的是想當一名邏輯學家或應付考試,這些訓練是必不可少的;如果你只是一個業餘愛好者,則證明定理不也是我們學習數學、邏輯的樂趣之一嗎?如果你僅僅只是想了解一下有關的理論,可以不做這些習題,但也要讀一讀並理解它們,因為這些習題所涉及的概念或定理是構成書中邏輯理論的一部分,而且在後面的章節中可能會用到。

中級邏輯是基礎邏輯與數理邏輯之間的橋樑,如果你的興趣是在數理邏輯,先讀一些中級邏輯的書,有助於你邁進數理邏輯抽象艱深的領域。尤其是 Goldrei 的這本書,其對習題所做的與眾不同的編排,是筆者決定推薦這本書的主要原因之一,它對邏輯能力的鍛煉確實幫助很大。

3. Aladdin M. Yaqub, An Introduction to Metalogic (Broadview Press, 2015)

數理邏輯有廣義和狹義之分。廣義的數理邏輯指任何以數學的方法建構的邏輯理論,按照這個意義,本文所介紹的五本書都要歸入數理邏輯的範疇。狹義的數理邏輯指研究數學基礎的理論,它是一種元數學 (meta-mathematics) ,其內容包括模型論、證明論、遞歸論和公理集合論等分支。本節所說的「數理邏輯」,指的就是這種狹義的數理邏輯。

在筆者所讀過的數理邏輯書中,印象比較深刻的有:早年讀過的 (7) A. G. Hamilton, Logic for Mathematicians ;後來讀過的 (8) Elliott Mendelson, Introduction to Mathematical Logic ;近年讀過的 (9) Christopher C. Leary & Lars Kristiansen, A Friendly Introduction to Mathematical Logic 和 (10) Aladdin M. Yaqub, An Introduction to Metalogic 等。這些都是值得讀的好書,但如果要推薦一本數理邏輯的入門書,筆者認為 (10) 是不二之選。 Yaqub 這本書雖然用了「元邏輯 (Metalogic) 」一詞作書名,但內容講的都是數理邏輯的各種課題。這本書的主體內容部分只有 289 頁,可視為一本迷你的數理邏輯書。

以下先介紹這本書的內容,然後介紹其最顯著的特點。這本書共 5 章。第 1 章講述了一階謂詞邏輯的句法學、語義學和證明理論,它是其餘各章的背景知識。作者在這一章介紹了元邏輯的一些重要概念,如「一致性」和「完全性」等,並介紹了兩種自然演繹系統。第 2 章主要是為下一章元定理的證明做準備,介紹一些在邏輯上和數學上所必備的知識和技巧,如自然數集的結構、數學歸納法的原理、有窮和無窮集合、羅素悖論、 Cantor 定理及其對角線的證明法、函數與關係等等。第 3 章完整地證明了一階謂詞邏輯的一致性定理和完全性定理,並且證明了兩個緊緻性定理和 Löwenheim-Skolem 定理。

第 4 章講述可計算性理論 (computability) 。首先介紹有效程序 (effective procedure) 和可判定性 (decidability) 問題,顯示這些問題都可以表達為有關可計算函數 (computable function) 的問題,而可計算函數可以通過圖靈機 (Turing machines) 來定義。本章嚴格定義了圖靈可計算函數 (Turing-computable function) 以及有關的概念,完整地證明了停機問題 (halting problem) 。此外,也討論其他的一些相關理論和定理。第 5 章詳細地討論了不完全性定理、不可判定性定理以及不可定義性定理的證明。首先討論 Peano 算術 (PA) 、元定理的算術化、以及遞歸函數 (recursive function) 在 PA 中的可表達性,證明了一些重要的定理,包括Church的不可判定性定理和 Tarski 的不可定義性定理等,證明了哥德爾第一不完全性定理的核心部分,勾勒了哥德爾第二不完全性定理的證明的輪廓。此外,也討論了二階邏輯和二階 Peano 算術,並證明了二階邏輯的不完全性定理以及一些相關的定理。

讀過數學的讀者可能都有這樣的經驗:當閱讀一個較複雜的數學定理的證明時,一步步跟下去,每一步都能理解,最後也覺得自己看懂了這個定理的證明。可是,當要我們複述這個證明的大要,講出需要先證明哪些引理 (lemma) 、先構造哪些定義時,卻講不出來,因為複雜的證明把我們搞得暈頭轉向。不能講出一個證明的邏輯結構,不算真正懂得這個證明。我們自己證明一個定理也是這樣,需要佈局:要取得最終的結果,需要先取得某些中間的結果,而這些中間的結果就是需要先證明的引理。 Yaqub 這本書的一個最令人驚艷之處,就是證明每個定理時都將證明的思路寫出來,將證明的步驟用 1、2、3 這些數字標示,一項項地列出。讀完一個定理的證明後,讀者可以回過頭來瀏覽一下所列出的步驟,找出步驟與步驟之間的邏輯關係,略去每個步驟裡的細節,就容易從整體上把握這個證明的結構,從而加深對這個證明的理解。

可將這本書與前面提到的 (9) 和 (8) 做比較。 (9) 比較容易讀,正如其書名所標示的那樣: friendly 。但有時 too friendly ,有些地方比較嘮叨。 (8) 十分簡潔,對概念和原理的闡述,對各種定理的證明,都極為精煉,沒有多餘的解釋,非常elegant。可是,也因此之故,閱讀這本書需具備較強的數學能力。 Yaque 這本書則在 friendly 和 elegant 之間做到較好的平衡:闡述做到淺白,但不嘮叨,內容比較深入,卻不難掌握。

數理邏輯是一門比較艱深的學科,初涉這個領域的讀者需要一本較簡易的入門書。 Yaque 這本書的敘述風格以及將證明步驟列出來的獨特做法,是筆者選擇推薦這本書的重要因素。掌握了這本書,你就一隻腳跨入了數理邏輯的聖殿。如果想進一步學習,可讀一讀 (9) ,這本書對數理邏輯有更全面的論述。

4. Rod Girle, Modal Logics and Philosophy, Second Edition (McGill-Queen’s University Press, 2009)

前面介紹的都屬於經典邏輯,要比較全面地了解邏輯,還必須讀一些非經典邏輯。在考慮應推薦哪一本非經典邏輯的書時,筆者首先篩選出如下的三本:(11) Rod Girle, Modal Logics and Philosophy ;(12) Melvin Fitting and Richard L. Mendelsohn, First-Order Modal Logic ;(13) Graham Priest, An Introduction to Non-Classical Logic: From If to Is 。這三本都是非常好的書,由於 (11) 具備一些筆者較看重的優點,最後決定推薦這本書。

Girle 的這本書分兩部分:第 1 部分講述模態邏輯的形式系統。第1章先介紹模態邏輯的一些基本概念。第 2 章講述最簡單的模態邏輯 S5 的樹形系統。第 3 章講述正規模態邏輯,論述了 K、T、Br、S4、S5 等的樹形系統。第 4 章講述非正規模態邏輯,論述了S0.5、S2、S3、S1、N 等的樹形系統。第 5 章討論正規模態邏輯中的各個自然演繹系統和公理系統。第  章討論條件句邏輯。第7章討論模態謂詞邏輯。第 8 章討論了量詞的存在預設問題。

第 2 部分講述模態邏輯在哲學上的應用,論述了幾種被有些邏輯學家稱為「哲學邏輯 (philosophical logic) 」的樹形系統,有些也涉及到公理系統。第 9 章討論了真勢模態邏輯 (alethic modality)。第 10 章講述了時態邏輯 (temporal logic) 。第 11 章講述了動態邏輯 (dynamic logic) 。第 12 章講述了知識邏輯 (epistemic logic) 以及與知識邏輯關係密切的幾種信念邏輯 (belief logics) 。第 13 章講述道義邏輯 (deontic logic) 。第 14 章討論了條件句的可靠性問題。第 15 章簡短地討論了將不同的模態系統結合起來的情形。

這是一本寫得非常簡明的模態邏輯書,十分清晰、簡潔地講述了各個模態系統的特點以及它們之間的關係。例如,在討論正規模態邏輯時,先介紹最弱的系統 K ,然後講述如何在K的基礎上構造 T、Br、S4、S5 等系統。先介紹 Hintikka 策略,即通過增加或改變某些樹形推理規則來構造其他系統;再介紹正統策略,即通過改變可通達關係 (accessibility relation) 的某些性質(如對稱、自返、傳遞等)來構造其他系統。然後勾勒出這些系統之間的關係;對非正規模態邏輯的論述也與之類似。當然,別的模態邏輯書在論述各種模態系統時,也會有類似的處理方式,但這本書處理得格外簡明;它略去了許多枝節,免得初學者被那些錯綜複雜的關係搞得暈頭轉向,因而令初學者很容易掌握這門邏輯分支。但簡明的代價是對許多問題的論述可能不夠深入。

這本書雖然簡明,內容卻不失豐富。它在第 2 部分集中講述各種哲學邏輯,上面提到的另兩本書都沒有做這樣系統的論述。這些哲學邏輯是在模態邏輯的基礎上發展出來的,將它們放在一起討論是再也適合不過的。筆者比較喜歡這種編排,所以選擇推薦這本書。此外,作者幾乎在每一節的末尾都會提出一些富啟發性的問題,引導讀者做進一步的探究;並且列出一些可進一步閱讀的參考書目,有很強的指導性。這是一本絕佳的模態邏輯入門書,可由此出發,進一步學習模態邏輯和其他的非經典邏輯。想要更深入地了解模態邏輯,可閱讀上面提到的 (12) ;想要了解非經典邏輯的其他分支,如多值邏輯、自由邏輯、相干邏輯、模糊邏輯、直覺邏輯等,可閱讀上面提到的 (13) 。

最後要指出的是,這個版本存在着一些印刷上的錯誤,讀者在閱讀時要小心。如果你理解這本書的內容,那麼看出錯誤之處並將它們改正,其實也不是一件很難的事。希望這本書將來會出修訂版。

5. L. T. F. Gamut, Logic, Language, and Meaning, Volume 2: Intensional Logic and Logical Grammar (University of Chicago Press, 1991)

前面幾本書所涉及的邏輯都是外延邏輯 (extensional logic),本節介紹一本內涵邏輯 (intensional logic) 的書。在外延邏輯中,對表達式的語義解釋是外延:詞項 (terms) 的語義解釋是個體,謂詞的語義解釋是個體的集合,句子的語義解釋是真值。但在內涵邏輯中,對表達式的語義解釋是從可能世界到外延的函項 (function) :詞項的語義解釋是從可能世界到個體的函項,謂詞的語義解釋是從可能世界到集合的函項,句子的語義解釋是從可能世界到真值的函項等等。

L. T. F. Gamut 寫了一套名為 Logic, Language, and Meaning 的書,試圖比較全面地介紹邏輯、語言和意義。這套書共有兩卷:第 1 卷 (14) L. T. F. Gamut, Logic, Language, and Meaning, Volume 1: Introduction to Logic ;第 2 卷 (15) Grammar L. T. F. Gamut, Logic, Language, and Meaning, Volume 2: Intensional Logic and Logical Grammar 。第 1 卷講述了一階經典邏輯、高階邏輯和一些非經典邏輯,為第 2 卷提供必要的邏輯背景;第2卷集中講述內涵邏輯。這兩卷可以是彼此獨立的,熟悉第1卷有關內容的讀者可直接讀第 2 卷。本文只介紹第二卷。這套書由5位荷蘭學者合著, L. T. F. Gamut 不是一個人的名字,而是 5 個人的合名。

這本書的第 1 章先介紹有關內涵邏輯的一些背景知識。第 2 章討論內涵命題邏輯,先一般性地介紹可能世界語義學,然後結合模態命題邏輯和命題時態邏輯,做進一步的闡釋。第 3 章討論內涵謂詞邏輯,先討論晦暗語境 (paque contexts) 問題,討論了涉實 (de re) 和涉名 (de dicto) 的模態,然後討論有關嚴格指示性 (rigid designation) 的問題,再集中討論模態謂詞邏輯語義學。第 4 章討論類型理論 (the theory of types) 和範疇語法 (categorical grammar) ,並且比較了這兩種理論。然後集中介紹內涵邏輯中極為重要的運算技巧:λ-抽象 (λ-abstraction) 。這個運算技巧是分析自然語言的強有力工具。

第 5 章將內涵語義學與類型理論結合,產生了類型的內涵理論 (the intensional theory of types),這個理論對蒙太格語法 (Montague grammar) 十分重要。這一章引介了內涵邏輯的兩個核心概念:內涵算子與外延算子。這兩個概念都不容易掌握。此外,也討論了時制算子 (temporal operators) 和 two-sorted 的類型理論。第 6 章討論蒙太格語法。這一章詳細地討論了如何運用蒙太格語法分析日常英語的一些詞語和句子的結構,揭示自然語言的邏輯語法。第 7 章討論一些近期的發展,討論了廣義量詞理論 (the theory of generalized quantifiers) ,可變範疇語法和類型理論 (flexible categorial grammar and type theory) ,以及篇章表述理論 (discourse representation theory) 等。

與前面所介紹的幾本不同,這本書不強調數學上的證明,書中也沒有什麼元定理需要證明,對於害怕數學證明的讀者或許會覺得沒那麼難懂。然而,它卻有另一種難度。這本書集中討論如何運用內涵邏輯分析自然語言的種種詞類和句型,而內涵邏輯又比外延邏輯複雜得多。書的後半部,尤其在第 6 章和第 7 章,充斥着複雜的內涵邏輯公式,揭示自然語言的種種邏輯結構。要理解這些內容並且自己也能做到精確的分析,需要另一種智力。所幸這本書對這些理論闡釋得比較清晰,例如前面提到的較難掌握的內涵算子與外延算子,這本書講得就比較清楚。它按部就班地引介各種抽象的概念和複雜的運算技巧,對自然語言的分析也講解得比較透徹。這是一本學習內涵邏輯的難得的好書。

哲學家們對於內涵邏輯似乎沒有給予足夠的重視,只有研究形式語義學的語言學家較關注內涵邏輯。但在某些情況下,內涵邏輯比外延邏輯能更深刻地揭示語言或概念的邏輯結構。如果分析哲學家能掌握內涵邏輯,則其邏輯工具箱裡就增添了強有力的分析工具。

結語

什麼是邏輯?現代邏輯學家一般將邏輯定義為「研究論證的方法和原理的科學」, Nicholas Smith 則將邏輯定義為「有關真理的科學(the science of truth)」 [4] 。他認為邏輯是研究命題之間的真假關係,探究的是「真理的法則 (the laws of truth) 」,能夠運用在論證上只是它的副產品而已。筆者認為,邏輯是探究概念之間的必然關係,能夠成為真理的法則或論證的規則,也都只是其副產品而已。

思想由命題組成,命題由概念構成。我們通過概念來思考,邏輯則是組織這些概念的框架。邏輯學是通過建構邏輯概念(即邏輯算子或邏輯常項)來建構這些框架,各種邏輯概念是構成這些框架的節點。學習各種邏輯理論,能使我們更深刻地了解理性世界最一般的結構,窺視 λόγος 最深層的奧秘。

註:

  1. 這是作者提供的網址,可在此免費下載本書的 pdf 版:Logic Matters: Introduction to Formal Logic
  2. 一元謂詞邏輯的有效性是可判定的 (decidable) ,但一般謂詞邏輯的有效性是不可判定的 (undecidable) 。也就是說,當論證中的命題含有多元謂詞,則存在着一些無效的論證,我們無法通過樹形法(或其他方法)判定它是無效的。
  3. 即註1提到的那個網址。筆者推薦Peter Smith的這個邏輯網頁 Logic Matters ,它對學習邏輯很有幫助:https://www.logicmatters.net/tyl/
  4. Nicholas J. J. Smith, Logic: The Laws of Truth, Princeton University Press 2012, p.4。這本書就是第 1 節提到的 (2) 。

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